المتجه

توضيح للضرب الاتجاهي

في الرياضيات، وبشكل خاص في التحليل الاتجاهي، المُتّجِه [1] (بالإنكليزية: Vector) هو سهم يتجه من نقطة إلى أخرى. يتحدد كل متجه في الرياضيات بثلاثة عناصر : المقدار وهو كمية قياسية تُمَثًّل بطول المتجه، الاتجاه يمكن تحديده في فضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق زوايا اويلر، ونقطة التأثير وهي النقطة التي ينطلق منها المتجه. ومع أن المتجه يوصف بدلالة أرقام بعضها تعتمد على نوع جملة الإحداثيات، إلا أنه لا يعتمد على جملة الإحداثيات.

المثال المشهور للمتجه هو القوة الفيزيائية، فإن له مقدارًا واتجاهًا في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة تأثير، كما تتبع قاعدة جمع المتجهات (حسب قاعدة متوازي الأضلاع) عندما نريد جمع قوى متعددة.

محتويات

   1 تمثيل المتجهات
   2 خصائص أساسية
       2.1 تساوي المتجهات
       2.2 جمع المتجهات وطرحها
   3 متجهات وغير المتجهات
   4 جمع متجهات
   5 جمع قوتين بالرسم البياني
   6 مراجع
   7 اقرأ أيضا

تمثيل المتجهات سهم المتجه من A إلى B.

يشار إلى المتجهات عادة بحروف صغيرة ثخينة، مثل a أو مائلة أيضا مثل a (تمثل الحروف الكبيرة عادة المصفوفات). كما يصطلح على كتابتها \vec{a} أو a عند كتابتها باليد. إذا كان المتجه يمثل إزاحة من النقطة A إلى النقطة B كما في الشكل، يرمز عندها له بـ \overrightarrow{AB} أو AB. يستخدم رمز القبعة (^) للإشارة إلى متجهات الوحدة، كما في \boldsymbol{\hat{a}}.

للقوة متجه طوله يبين مقدارها واتجاه المتجه تمثل اتجاه القوة.

تظهر المتجهات في المخططات والرسومات كأسهم (قطع مستقيمة موجهة)، كما هو موضح في الشكل. تسمى هنا النقطة A المبدأ، وتسمى النقطة B الرأس. يتناسب طول السهم مع مقدار المتجه، بينما يشير اتجاه السهم إلى اتجاه المتجه. Notation for vectors in or out of a plane.svg

ونحتاج في المخططات ثنائية البعد إلى ترميز المتجه بدوائر صغيرة (كما في الشكل جانبا)، حيث تكون بعض المتجهات عمودية على مستوي المخطط. يرمز للمتجه بنقطة داخل دائرة صغيرة عندما يكون المتجه متجها خارج المخطط باتجاه المشاهد. بينما يرمز له بدائرة مرسوم في داخلها إشارة الضرب عندما يكون المتجه متجها إلى داخل المخطط. ويمكن تذكرها باعتبار النقطة هي منظر لرأس السهم، وإشارة الضرب هي منظر لذيل السهم (الريشة). متجه في نظام إحداثي ديكارتي، يوضح موضع النقطة A مع الإحداثيات (2،3) 3D Vector.svg

قد يكون التمثيل البياني من أجل حساب المتجهات متعبًا ومعقدًا. فالمتجهات في الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد يمكن أن تمثل في نظام إحداثي ديكارتي. يمكن تعيين نهاية المتجه بوضعها في قائمة مرتبة من الأعداد الحقيقية.

وكمثال في الفضاء ثنائي الأبعاد (الشكل جانبا)، يكتب المتجه من مبدأ الإحداثيات O = (0,0) إلى النقطة A = (2,3) بالشكل

   \mathbf{a} = (2,3).

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (أو \mathbb{R}^3)، تعرف المتجهات بثلاثة أرقام تمثل الإحداثيات الديكارتية لنقطة النهاية (a,b,c):

   \mathbf{a} = (a, b, c).

توضع هذه الأعداد غالبا في مصفوف عمود أو مصفوف سطر ، وخصوصا عندما نتعامل مع المصفوفات، كالتالي:

   \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\\ \end{bmatrix} 
   \mathbf{a} = [ a\ b\ c ].

الطريقة الأخرى لتمثيل المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي باستخدام متجهات الوحدة الأساسية الثلاث:

   {\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1).

وفق هذا الاصطلاح، يكتب أي متجه في الفضاء الاتجاهي ثلاثي الأبعاد \mathbb{R}^3 بالشكل:

   (a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = a{\mathbf e}_1 + b{\mathbf e}_2 + c{\mathbf e}_3.

في دروس الفيزياء التمهيدية، تستبدل هذه المتجهات الثلاث بـ \boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k} (أو \boldsymbol{\hat{x}}, \boldsymbol{\hat{y}}, \boldsymbol{\hat{z}})، ولكن تعارض هذه التسمية مع دليل الترميز (Index notation) واصطلاح تجميع (summation convention) المستخدمين في المستويات المتقدمة في الرياضيات، والفيزياء والهندسة. خصائص أساسية

المقطع التالي يستخدم نظام إحداثي ديكارتي مع متجهات وحدة أساسية

   {\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1)

ويفترض أن جميع المتجهات تبدأ من مركز الإحداثيات O. وتعني كل من :

   {\mathbf e}_1 = (1,0,0) وحدة متجه في اتجاه المحور x
   {\mathbf e}_2 = (0,1,0) وحدة المتجه في اتجاه المحور y
   {\mathbf e}_3 = (0,0,1) وحدة المتجه في اتجاه المحور z

وتستخدم الإحداثيات (1,0,0 ) , (0,1,0 ) , (0,0,1 ) بصفة أساسية مع البلورات ، في وصفها وحساباتها .

يكتب المتجه a على الوجه التالي:

   {\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3.

(يمكن تخيل المتجه a يبدأ من ركن في بلورة مكعبة أو متوازية الأضلاع وينتهي في ركن آخر . أو أن يبدأ في نظام إحداثي كروي من المركز وينتهي عند تقابله بسطح الكرة ). تساوي المتجهات

يقال عن متجهين أنهما متساويان إذا كان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه. وعلى هذا الوجه تكون المتجهات متساوية إذا تساوت إحداثياتها. فالمتجهين:

   {\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3

و

   {\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3

متساويين إذا تحقق

   a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3.\,

جمع المتجهات وطرحها

ليكن a , b متجهين في نفس الاتجاه ، فيكون مجموعهما بافتراض تساويهما :

   a + a = 2a

وفي حالة تضادهما :

   a - a = 0

وفي حالة أخرى مع اعتبار مركباتها نفترض أن :

a=a1e1 + a2e2 + a3e3 و b=b1e1 + b2e2 + b3e3,

حيثe1،e2، e3 هي متجهات الوحدة متعامدة. الشكل 2: جمع المتجهات

فيكون مجموع a وb هو:

   \mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{e_1} +(a_2+b_2)\mathbf{e_2} +(a_3+b_3)\mathbf{e_3}.

ويمكن تمثيل جمع المتجاهات بشكل بياني:

بوضع بداية المتجه b عند نهاية المتجه a، ثم رسم متجه من بداية المتجه a إلى نهاية المتجه b. يمثل المتجه الجديد المرسوم a + b، كما هو مبين في الشكل 2.

تسمى طريقة الجمع هذه بقاعدة متوازي الأضلاع، لأن a وb يشكلان أضلاع متوازي الأضلاع.

طرح a وb هو:

   \mathbf{a}-\mathbf{b} =(a_1-b_1)\mathbf{e_1} +(a_2-b_2)\mathbf{e_2} +(a_3-b_3)\mathbf{e_3}

يمكن تمثيل طرح المتجهات بيانيًا أيضًا كما يلي: لطرح b من a، نضع نهاية a وb عند نفس النقطة، ثم يرسم سهم من نهاية b إلى نهاية a. يمثل هذه المتجه الجديد a − b، كما هو موضح في الشكل 3. الشكل 3: طرح المتجهات a وb متجهات وغير المتجهات

أمثلة لكميات متجهة :

   قوة
   الازاحة
   السرعة
   التسارع

أمثلة لكميات غير متجهة ( لا يمكن تمثيلها بمتجه) :

   الطاقة
   الزمن
   الكثافة
   اللزوجة
   الحرارة

جمع متجهات

محصلة متجهين متساويين ومتضادين تساوي صفرا . يمكن جمع المتجهات بطريقة متوازي أضلاع القوى الذي يتبع أحد قوانين الميكانيكا الذي ينص على أن:" إذا عملت قوتان في نقطة فيمكن أن يعبر عنهما بقوة واحدة." تسمى تلك القوة "محصلة". عمليا نقوم برسم متجهين للقوتين (أي نختار طول معين لكل منهما ) ونمثل اتجاهيهما بسهمين . نرسم متوازيان للسهمين فيكمل تقاطعهما شكل متوازي الأضلاع. المحور الواصل ينقكة تأثير القوتان والنقطة المقابلة على متوازي الأضلاع هي محصلة القوتين ، واتجاه المحصل يكون بادئا مننقطة تاثير القوتين .

معكوس تلك العملية يسمى تحليل قوة ، حيث نجزيء متجها للقوى إلى مركبتين عموديتان على بعضهما البعض ، فإذا عرفنا اتجاه تأثير المركبتين نستطيع تعيين مقدار كل منهما .

يمكن تعميم هذه الطريقة للحصول على محصلة عدة قوي ، ثلاثة أو أربعة أو أكثر... فيما يسمى مضلع القوى . جمع قوتين بالرسم البياني

نفترض أن قوتين تؤثر على جسم . يمكننا بواسطة الرسم البياني تعيين المحصلة ، كالآتي:

   نرسم القوتان كسهمين بمقياس رسم معين ، من حيث المقدار والاتجاه ،
   نرسم من رأس السهم الأول خطا موازيا للسهم الثاني ،
   ونرسم من رأس السهم الثاني خطا موازيا للسهم الأول . يتقاع الخطان ويكتمل متوازي الأضلاع .
   المحور الباديء من نقطة تأثير القوتين إلى نقطة تقاطع الخطين هي محصلة القوتين ، وتقوم مقامهما .

   خطوة 1

   خطوة 2

   خطوة 3

   خطوة