الاشتقاق/مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة رول

مبرهنة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقالبة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ و $f(a)=f(b)$

فإنه يوجد على الأقل عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=0$

هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=0$ يعني أن منحنى الدالة $f$ على $[a,b]$ له على الأقل مماس مواز لمحور الأفاصيل.

مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$

فإنه يوجد $c$ من $]a,b[$ بحيث : $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\prime }(c)$

هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ يعني أن لمنحنى الدالة $f$ على الأقل مماسا موازيا للمستقيم المار من النقطتين $A(a,f(a))$ و $B(b,f(b))$

متفاوتة التزايدات المنتهية

خاصية

إذا كانت دالة $f$ متصلة على قطعة $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وإذا وُجِدَ عددان حقيقيان $\alpha$ و $\beta$ بحيث $\alpha \le f^{\prime }(x)\le \beta$ لكل $x$ من $]a,b[$

فإن : $\alpha (a-b)\le f(b)-f(a)\le \beta (b-a)$

لازمة

إذا كانت دالة $f$ متصلة على $[a,b]$ وقابلة للاشتقاق على $]a,b[$ ، وإذا وُجِدَ عدد حقيقي موجب $k$ بحيث : $(\mathrm{\forall }t\in ]a,b[)|f^{\prime }(t)|\le k$

فإنه لكل $x$ و $y$ من $]a,b[$ : $|f(x)-f(y)|\le k|x-y|$