لتكن f {\displaystyle f} دالة متصلة على قطعة ( a < b ) [ a , b ] {\displaystyle (a<b)\quad [a,b]}
لكل n {\displaystyle n} من N ∗ ∖ { 1 } {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}\smallsetminus \{1\}} نضع : s n := b − a n ∑ k = 0 n − 1 f ( a + k b − a n ) {\displaystyle s_{n}:={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)} و S n := b − a n ∑ k = 1 n f ( a + k b − a n ) {\displaystyle S_{n}:={\frac {b-a}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}
إذا كانت f {\displaystyle f} تزايدية على [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} فإن : s n ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ S n {\displaystyle s_{n}\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq S_{n}}
وإذا كانت f {\displaystyle f} تناقصية على [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} فإن : S n ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ s n {\displaystyle S_{n}\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq s_{n}}
المتتاليتان ( s n ) n > 0 {\displaystyle (s_{n})_{n>0}} و ( S n ) n > 0 {\displaystyle (S_{n})_{n>0}} متقاربتان وتقبلان التكامل ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} نهاية مشتركة لهما.
حساب الحجوم
![{\displaystyle (a<b)\quad [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f699d4a8ccba9c93ad18f40dff10af4f3b3b986)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
