فضاء احتمالي/لغة الاحتمال

لغة الاحتمال

تجارب وأحداث عشوائية

تجربة عشوائية

تعريف

التجربة العشوائية (أو الاختبار العشوائي) (بالفرنسية: Expérience aléatoire، بالإنجليزية: Random experiment) هي كل تجربة ${\mathcal {E}}$ إذا أُجريت في شروط مماثلة قد تُعطي عدة نتائج ممكنة، ولا يُمكن معرفة نتيجتها مُسبقا.

الفضاء الذي يحتوي على جميع النتائج الممكنة يُسمى فضاء الحوادث (أو كون الإمكانيات) (بالفرنسية: Espace d'états، بالإنجليزية: Event space) المُرتبط بالتجربة، ويُرمز له بـ $\Omega$

إذا اعتبرنا تجربة عشوائية، يُرمز لنتيجتها الممكنة بـ $\omega$ . ومنه : $\omega \in \Omega$

من أمثلة التجارب العشوائية ذات فضاء حوادث $\Omega$ منته : ألعاب الورق، رمي قطعة نقدية، ألعاب الحظ، اليانصيب. لكن $\Omega$ قد يكون أكثر تعقيدا بكثير.

أمثلة فضاء الحوادث $\Omega$ :

• رمي قطعتان نقديتان : $\Omega =\{PP,PF,FP,FF\}$ ، بحيث نرمز لظهور الوجه الذي يحمل الصورة (الرأس) بـ $F$ (face أو $H$ head)، والوجه الذي يحمل الكتابة (الذيل) بـ $P$ (pile أو $T$ tail).
• رمي نرد : $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$
• رمي سهم على هدف دائري قُطره 30 سنتيمتر. تتمثل التجربة في وصف اصطدام السهم في معلم متعامد ممنظم مركزه هو مركز الهدف : $\Omega =\left\{(x,y),{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq 15\right\}$
• مدة حياة مصباح كهربائي : $\Omega =[0,+\infty [$
• في مسرحية روميو وجولييت، روميو ينتظر جولييت التي وعدته أنها ستأتي بين منتصف الليل والساعة الواحدة ليلا. مدة الانتظار : $\Omega =[0,1]$
• في طريق سيار، مدة مرور العربات في محطة الأداء : $\Omega =(\mathbb {R} _{+})^{\mathbb {N} }$
• لمراقبة ثمن أصل مالي في فترة زمنية $[t_{1},t_{2}]$ نأخذ $\Omega$ يساوي $C([t_{1},t_{2}],\mathbb {R} _{+})$ ، مجموعة الدوال المتصلة على $[t_{1},t_{2}]$ ، والتي تأخذ قيما حقيقية موجبة.
• لدراسة سرعة جُزيئة في غاز نادر (أو غاز نبيل) خلال فترة زمنية $[t_{1},t_{2}]$ نأخذ $\Omega$ يساوي مجموعة الدوال المتصلة على اليمين والقابلة لنهاية على اليسار في $[t_{1},t_{2}]$ والتي تأخذ قِيَمَها في $\mathbb {R} ^{3}$

كما نرى في الأمثلة السابقة، يختلف الفضاء $\Omega$ بشكل كبير من حيث البنية، من تجربة إلى أخرى. وبذلك نُدرك أهمية وضع نظرية غنية تشمل كل هذه الحالات.

سوف نرى لاحقا أن النموذج الرياضي المُجرَّد الذي سنُنشؤه، سيجعلنا نتتحرر من كون أن $\Omega$ يصف بشكل دقيق جميع النتائج الممكنة للتجربة.

حوادث عشوائية

تعريف

الحدث العشوائي (المرتبط بالتجربة ${\mathcal {E}}$) (بالفرنسية: Événement aléatoire، بالإنجليزية: Random event) هو كل مجموعة جزئية من $\Omega$ ، والتي من خلال التجربة يمكننا أن نقول أنها تحققت أم لا.

إذن، الحدث العشوائي هو جزء من $\Omega$

أمثلة :

• إذا كانت التجربة هي رمي نردين،
  • فإن $\}$ مجموع النردين أصغر من 4 $A=\{$ حدث عشوائي.
  • بينما المجموعة $\}$ رقم نتيجة النرد الأول أصغر من 4 $B=\{$ ليست حدثا عشوائيا إذا كان $\Omega$ يحتوي فقط على نتائج السحب بدون ترتيب.
• في مسرحية روميو وجولييت، المجموعة "جولييت تنتظر أكثر من ثلاثة أرباع الساعة" هي الحدث العشوائي $]3/4,1]$
• في مراقبة ثمن أصل مالي خلال الفترة $[t_{1},t_{2}]$ ، المجموعة "الثمن أصغر من عتبة $\alpha$" : $A=\left\{\omega \in C([t_{1},t_{2}],\mathbb {R} ),\sup _{t\in [t_{1},t_{2}]}{|\omega (t)|}\leq \alpha \right\}$ حدث عشوائي.

وبالتالي، الحوادث العشوائية هي مجموعات. سنستعمل إذن نظرية المجموعات، وبالخصوص العمليات الأولية على المجموعات، لوصف مختلف إمكانيات تحقق الحوادث.

المجموعات - تذكير

نعتبر مجموعة $\Omega$ ، أي تشكيلة من الكيانات تُسمى عناصر $\Omega$ ، أو نقط من $\Omega$.

نرمز لانتماء نقطة $\omega$ إلى المجموعة $\Omega$ بـ $\omega \in \Omega$ . بينما $\omega \notin \Omega$ تعني أن $\omega$ لا ينتمي إلى $\Omega$.

كل جزء $A$ من $\Omega$ هو بذاته مجموعة، وتُسمى مجموعة جزئية من $\Omega$. ونقول $A$ مضمونة في $\Omega$ ، ونكتب $A\subset \Omega$

لنُذكّر بالعمليات الأولية على المجموعات الجزئية :

• التقاطع (بالفرنسية: Intersection، بالإنجليزية: Intersection) : $A\cap B$ هي تقاطع المجموعتين $A$ و $B$ ، أي مجموعة النقط التي تنتمي إلى $A$ و $B$ معا.
• الاتحاد (بالفرنسية: Réunion، بالإنجليزية: Union) : $A\cup B$ هي اتحاد المجموعتين $A$ و $B$ ، أي مجموعة النقط التي تنتمي على الأقل إلى إحدى المجموعتين.
• المجموعة الفارغة (بالفرنسية: Ensemble vide، بالإنجليزية: Empty set) : مجموعة لا تحتوي على أي عنصر. يُرمز لها ب $\emptyset$
• مجموعات متفارقة (بالفرنسية: Ensembles disjoints، بالإنجليزية: Disjoint sets) : نقول أن المجموعتين $A$ و $B$ متفارقتان إذا كان $A\cap B=\emptyset$
• المجموعة المُكَمِّلة (بالفرنسية: Complémentaire، بالإنجليزية: Complement) : إذا كان $A\subset \Omega$ ، فإن مجموعتها المكملة (في $\Omega$) هي مجموعة نقط $\Omega$ التي لا تنتمي إلى $A$. يُرمز لها بـ $A^{c}$ وأحيانا بـ $\Omega \backslash A$ . المجموعتان $A$ و $A^{c}$ متفارقتان.
• الفرق (بالفرنسية: Différence ensembliste، بالإنجليزية: Set difference) : إذا كان $A$ و $B$ مجموعتان جزئيتان من $\Omega$ ، فإن $A\backslash B$ تَرمُز إلى مجموعة النقط التي تنتمي إلى $A$ و لا تنتمي إلى $B$. وبالتالي $A\backslash B=A\cap B^{c}$

التقاطع والاتحاد عمليات تبديلية (أو تبادلية) وتجميعية : لدينا $A\cup B=B\cup A$ و $A\cap B=B\cap A$ ، ولدينا كذلك $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ و $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ ، مجموعات نرمز لها طبيعيا $A\cup B\cup C$ و $A\cap B\cap C$

بصفة عامة، إذا اعتبرنا أُسرة $(A_{i})_{i\in I}$ من المجموعات، مُؤَشَّرَة (indexed) بمجموعة ما $I$، فإن $\cup _{i\in I}A_{i}$ تعني اتحاد هذه الأسرة، أي مجموعة النقط التي تنتمي على الأقل إلى إحدى المجموعات $A_{i}$ . وبالمثل، $\cap _{i\in I}A_{i}$ تعني تقاطع هذه الأسرة، أي مجموعة النقط التي تنتمي إلى جميع المجموعات $A_{i}$ . في الحالتين، ترتيب التأشير (indexation) في $A_{i}$ لا يهم.

تجزئة مجموعة $\Omega$ (بالفرنسية: Partition، بالإنجليزية: Partition) هي مجموعة من أجزاء $\Omega$، غير فارغة وغير متقاطعة، تغطي $\Omega$ كليا. يعني هي أُسرة $(A_{i})_{i\in I}$ حيث المجموعات $A_{i}$ متفارقة مثنى مثنى ($A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,\forall i,j$)، و $\cup _{i\in I}A_{i}=\Omega$

النموذج المجموعاتي للحوادث العشوائية

بما أن الحوادث العشوائية هي مجموعات (نُذَكر أن كل جزء من $\Omega$ يُمثِل مجموعة جزئية من النتائج الممكنة للتجربة)، فإن بإمكاننا تطبيق العمليات على المجموعات المذكورة أعلاه. إذن هناك تطابق بين العمليات على المجموعات والحوادث العشوائية.

نعتبر $A$ و $B$ حدثان عشوائيان، نُعرف الحوادث الآتية :

• الحدث المضاد (بالفرنسية: Événement complémentaire، بالإنجليزية: Complementary event) : يُرمز لتحقق الحدث المضاد لـ $A$ بـ $A^{c}$ : نتيجة التجربة لا تنتمي إلى $A$.
• الحدث "تَحَقُّق $A$ و $B$" (بالفرنسية: ET، بالإنجليزية: AND) يُمَثَّلُ بـ $A\cap B$ : تنتمي نتيجة التجربة إلى $A$ و $B$ معا.
• الحدث "تَحَقُّق $A$ أو $B$" (بالفرنسية: AND، بالإنجليزية: OR) يُمَثَّلُ بـ $A\cup B$ : تنتمي نتيجة التجربة إلى $A$ أو $B$ (إحدى المجموعتان، أو هما معا).
• الاستلزام (بالفرنسية: Implication، بالإنجليزية: Implication) : تَحَقُّق الحدث $A$ يؤدي إلى تَحَقُّق الحدث $B$، ونكتب $A\subset B$ .
• الحوادث المتضادة (بالفرنسية: Événements incompatibles، بالإنجليزية: Opposite events) : إذا كان $A\cap B=\emptyset$ ، نقول أن الحدثان $A$ و $B$ متضادان. لا يُمكن لنتيجة التجربة أن تكون في نفس الوقت في $A$ وفي $B$ معا.
• الحدث المؤكد (بالفرنسية: Événement certain، بالإنجليزية: Certain event) : الحدث $\Omega$ حدث مؤكد. كل نتائج التجربة تنتمي إلى $\Omega$ .
• الحدث المستحيل (بالفرنسية: Événement impossible، بالإنجليزية: Impossible event) : الحدث $\emptyset$ حدث مستحيل.

نرمز بـ ${\mathcal {A}}$ لمجموعة جميع الأحداث. تُمثل ${\mathcal {A}}$ المعلومة التي يُمكن الحصول عليها انطلاقا من نتائج التجربة. يُمكننا أخذ ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )$ مجموعة المجموعات الجزئية لـ $\Omega$ ، لكن ليس بالضرورة، كما سنرى لاحقا.

ملاحظة هامة :

لكل يكون النموذج متناسقا مع الحدس، يجي أن يكون ${\mathcal {A}}$ مستقرا بالعمليات على المجموعات : إذا كان $A,B\in {\mathcal {A}}$ ، فإن $A\cap B\in {\mathcal {A}}$ و $A\cup B\in {\mathcal {A}}$ و $A^{c}\in {\mathcal {A}}$ ، وكذلك $\Omega \in {\mathcal {A}}$ و $\emptyset \in {\mathcal {A}}$

الاحتمال - أولى الخصائص

نعتبر $A\in {\mathcal {A}}$ مجموعة نتائج ممكنة لتجربة عشوائية. نُريد أن نُعَرف مدى إمكانية حدوث $A$ قبل معرفة نتيجة التجربة.

نريد إذن، لكل حدث $A$ ، أن نربط عددا $\mathbb {P} (A)$ محصورا بين صفر وواحد. يُمثل هذا العدد احتمال تحقق هذا الحدث كنتيجةٍ للتجربة.

خاصية

الاحتمال مُعَرَّف على المجموعات العشوائية المُرتبطة بالتجربة. يُحقق الاحتمال الخاصيات الأساسية التالية :

• $0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1$
• $\mathbb {P} (\Omega )=1$
• إذا كان $A\cap B=\emptyset$ فإن : $\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)$

ومنه نستنتج :

لازمة

بالإضافة إلى ذلك، يُحقق الاحتمال :

• $\mathbb {P} (\emptyset )=0$
• $\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (A^{c})=1$
• إذا كانت $A_{i}$ متفارقة مثنى مثنى، فإن : $\mathbb {P} (\cup _{i=1}^{n}A_{i})=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})$
• $\mathbb {P} (A\cup B)+\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)$
• إذا كان $A\subset B$ ، فإن : $\mathbb {P} (A)\leq \mathbb {P} (B)$

📄 برهنة

(غير متوفرة)

تعريف

النموذج الاحتمالي (بالفرنسية: Modèle probabiliste، بالإنجليزية: Probabilistic model) هو الثلاثي $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ المكوُن من الفضاء $\Omega$ ، ومجموعة الأحداث ${\mathcal {A}}$ ، وأُسرة الأعداد $\mathbb {P} (A)$ لكل $A\in {\mathcal {A}}$

وبالتالي يُمكننا أن نعتبر $\mathbb {P}$ دالة من ${\mathcal {A}}$ إلى $[0,1]$ ، تحقق الخاصيات المذكورة أعلاه.

سوف نرى لاحقا أن على $\mathbb {P}$ أن تحقق خاصية إضافية عندما يكون الفضاء $\Omega$ لامنتهي.

في الدرس القادم، سنُعطي التعاريف الرياضية الدقيقة لما سبق ذكره.