نهاية متتالية/عموميات حول المتتاليات

عموميات حول المتتاليات

ليكن $k$ عنصرا من $ℕ$ ، نضع : $I = {n \in ℕ / n \geq k}$ ، ولتكن $(u_{n})_{n \in I}$ متتالية عددية.

تعريف

نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ مكبورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $M$ بحيث : $u_{n} \leq M$ لكل $n$ من $I$
نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ مصغورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $m$ بحيث : $u_{n} \geq m$ لكل $n$ من $I$
نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ محدودة إذا كانت مكبورة ومصغورة.

تعريف

نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ تزايدية إذا كان : $u_{n + 1} \geq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ تناقصية إذا كان : $u_{n + 1} \leq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
نقول إن $(u_{n})_{n \in I}$ ثابتة إذا كان : $u_{n + 1} = u_{n}$ لكل $n$ من $I$

تعريف

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ حسابية إذا وُجِدَ عدد حقيقي $r$ بحيث : $(\forall n \in I) u_{n + 1} = u_{n} + 1$

العدد $r$ يسمى أساس المتتالية الحسابية $(u_{n})_{n \in I}$

خاصية

إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ حسابية وأساسها $r$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :

$u_{n} = u_{p} + (n - p) r$
$(n \geq p) u_{p} + u_{p + 1} + \dots + u_{n} = (n - p + 1) (\frac{u_{n} + u_{p}}{2})$

تعريف

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ هندسية إذا وُجد عدد حقيقي $q$ بحيث : $(\forall n \in I) u_{n + 1} = q u_{n}$

العدد الحقيقي $q$ يسمى أساس المتتالية الهندسية $(u_{n})_{n \in I}$

خاصية

إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n \in I}$ هندسية أساسها $q$ غير منعدم ومختلف عن $1$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :

نهاية متتالية

نهاية متتالية