نهاية متتالية/عموميات حول المتتاليات

عموميات حول المتتاليات

ليكن $k$ عنصرا من $\mathbb {N}$ ، نضع : $I=\{n\in \mathbb {N} \;/\;n\geq k\}$ ، ولتكن $(u_{n})_{n\in I}$ متتالية عددية.

متتالية مكبورة - متتالية مصغورة - متتالية محدودة

تعريف

• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ مكبورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $M$ بحيث : $u_{n}\leq M$ لكل $n$ من $I$
• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ مصغورة إذا وُجِدَ عدد حقيقي $m$ بحيث : $u_{n}\geq m$ لكل $n$ من $I$
• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ محدودة إذا كانت مكبورة ومصغورة.

رتابة متتالية

تعريف

• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ تزايدية إذا كان : $u_{n+1}\geq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ تناقصية إذا كان : $u_{n+1}\leq u_{n}$ لكل $n$ من $I$
• نقول إن $(u_{n})_{n\in I}$ ثابتة إذا كان : $u_{n+1}=u_{n}$ لكل $n$ من $I$

متتالية حسابية

تعريف

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ حسابية إذا وُجِدَ عدد حقيقي $r$ بحيث : $(\forall n\in I)\quad u_{n+1}=u_{n}+1$

العدد $r$ يسمى أساس المتتالية الحسابية $(u_{n})_{n\in I}$

خاصية

إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ حسابية وأساسها $r$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :

• $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
• $(n\geq p)\qquad u_{p}+u_{p+1}+\cdots +u_{n}=(n-p+1)\left({\frac {u_{n}+u_{p}}{2}}\right)$

متتالية هندسية

تعريف

نقول إن المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هندسية إذا وُجد عدد حقيقي $q$ بحيث : $(\forall n\in I)\quad u_{n+1}=qu_{n}$

العدد الحقيقي $q$ يسمى أساس المتتالية الهندسية $(u_{n})_{n\in I}$

خاصية

إذا كانت المتتالية $(u_{n})_{n\in I}$ هندسية أساسها $q$ غير منعدم ومختلف عن $1$ فإنه لكل $n$ و $p$ من $I$ :

• $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$
• $(n\geq p)\qquad u_{p}+\cdots +u_{n}=u_{p}\left({\frac {1-q^{n-p+1}}{1-q}}\right)$