الأعداد العقدية/الكتابات العقدية للتحويلات الاعتيادية

الكتابات العقدية للتحويلات الاعتيادية

الإزاحة

خاصية

لتكن $T$ إزاحة متجهتها ${\vec {v}}$ لحقها $t$، ولتكن $M$ و $M'$ نقطتين من المستوى العقدي لحقاهما على التوالي هما $z$ و $z'$، لدينا:

$M'=T(M)\iff z'=z+t$

تعريف

العلاقة $z'=z+t$ تسمى الكتابة (أو الصيغة) العقدية للإزاحة $T$ ذات المتجهة ${\vec {v}}(t)$.

التحاكي

خاصية

ليكن $H$ تحاكيا مركزه $\Omega$ لحقه $\omega$ ونسبته عدد حقيقي $k$ غير منعدم، ولتكن $M$ و $M'$ نقطتين من المستوى العقدي لحقاهما على التوالي $z$ و $z'$. لدينا:

$M'=H(M)\iff z'-\omega =k(z-\omega )$

تعريف

العلاقة $z'-\omega =k(z-\omega )$ أي $z'=k(z-\omega )+\omega$ تسمى الكتابة (أو الصيغة) العقدية للتحاكي $H$ الذي مركزه $\Omega (\omega )$ ونسبته $k$ (حيث $k\in \mathbb {R} ^{*}$).

الدوران

خاصية

ليكن $R$ دورانا مركزه $\Omega$ لحقه $\omega$ وزاويته $\theta$، ولتكن $M$ و $M'$ نقطتين من المستوى لحقاهما على التوالي $z$ و $z'$. لدينا:

$M'=R(M)\iff z'-\omega =e^{i\theta }(z-\omega )$

تعريف

العلاقة $z'-\omega =e^{i\theta }(z-\omega )$ أي $z'=e^{i\theta }(z-\omega )+\omega$ تسمى الكتابة (أو الصيغة) العقدية للدوران $R$ الذي مركزه $\Omega (\omega )$ وزاويته $\theta$.

مركبات بعض التحويلات الاعتيادية

خاصية

بصفة عامة، ليكن $\varphi$ تحويلا من المستوى كتابته العقدية $z'=az+b$ ، حيث $a$ و $b$ عددان عقديان معلومان و $a\neq 0$. لدينا:

• إذا كان $a=1$ ، فإن $\varphi$ إزاحة متجهتها ${\vec {u}}(b)$ .
• إذا كان $a\in \mathbb {R} ^{*}-\{1\}$ ، فإن $\varphi$ تحاك نسبته $a$ ومركزه $\Omega \left({\frac {b}{1-a}}\right)$ .
• إذا كان $|a|=1$ و $a\neq 1$ ، فإن $\varphi$ دوران مركزه $\Omega \left({\frac {b}{1-a}}\right)$ وقياس زاويته $\arg(a)$ .
• إذا كان $|a|\neq 1$ ، فإن $\varphi =R\circ H=H\circ R$ حيث $H$ هو التحاكي الذي مركزه $\Omega \left({\frac {b}{1-a}}\right)$ ونسبته $|a|$ ، و $R$ هو الدوران الذي مركزه $\Omega$ وزاويته $\arg(a)$ .