الاتصال/تمارين/دالة قوس الظل

تمرين 1 : حل معادلة تحتوي على $\arctan$

حُل في $ℝ$ المعادلة التالية : $(E):\arctan (x)+\arctan \left(\frac{3}{2}x\right)=\frac{\pi }{2}$

💡 حل التمرين

كل حل للمعادلة $(E)$ هو حل للمعادلة : $(E^{\prime }):\tan (\arctan (x)+\arctan \left(\frac{3}{2}x\right))=\tan \frac{\pi }{2}$

المعادلة $(E^{\prime })$ تُكافئ : $\frac{\tan (\arctan (x))+\tan (\arctan \left(\frac{3}{2}x\right))}{1-\tan (\arctan (x)).\tan (\arctan \left(\frac{3}{2}x\right))}=1$

وبما أن $\tan (\arctan (t))=t$ لكل $t$ من $ℝ$ ، فإن المعادلة $(E^{\prime })$ تُكافئ : $\frac{x+\frac{3}{2}x}{1-\frac{3}{2}{x}^2}=1$ ، أي : $3x^2+5x-2=0$

وبالتالي فإن للمعادلة $(E^{\prime })$ حلين هما $-2$ و $\frac{1}{3}$

ونظرا لعدم تكافؤ المعادلتين $(E)$ و $(E^{\prime })$ وجب التحقق إن كان العددان $-2$ و $\frac{1}{3}$ هما فعلا حلين للمعادلة $(E)$

• بالنسبة للعدد $-2$ : العددان $\arctan (-2)$ و $\arctan (-3)$ سالبان، وبالتالي لا يمكن أن يكون $-2$ حلا للمعادلة لأن $\frac{\pi }{4}$ عدد موجب.
• بالنسبة للعدد $\frac{1}{3}$ :

بما أن : $0<\frac{1}{3}<1$ و $0<\frac{1}{2}<1$ فإن : $0<\arctan \left(\frac{1}{3}\right)<\frac{\pi }{4}$ و $0<\arctan \left(\frac{1}{2}\right)<\frac{\pi }{4}$ ، ومنه : $0<\arctan \left(\frac{1}{3}\right)+\arctan \left(\frac{1}{2}\right)<\frac{\pi }{2}$

لدينا : $\tan (\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{2})=\tan \frac{\pi }{4}$ و $(\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{2})\in ]0,\frac{\pi }{2}[$ و $\frac{\pi }{4}\in ]0,\frac{\pi }{2}[$

إذن : $\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{2}=\frac{\pi }{4}$ ، وهذا يعني أن العدد $\frac{1}{3}$ هو بالفعل حل للمعادلة $(E)$

إذن مجموعة حلول المعادلة $(E)$ هي : $S=\left\{\frac{1}{3}\right\}$