الاتصال/تمارين/دالة قوس الظل

تمرين 1 : حل معادلة تحتوي على $\arctan$

حُل في $\mathbb {R}$ المعادلة التالية : $(E):\quad \arctan(x)+\arctan \left({\frac {3}{2}}x\right)={\frac {\pi }{2}}$

💡 حل التمرين

كل حل للمعادلة $(E)$ هو حل للمعادلة : $(E'):\quad \tan \left(\arctan(x)+\arctan \left({\frac {3}{2}}x\right)\right)=\tan {\frac {\pi }{2}}$

المعادلة $(E')$ تُكافئ : ${\frac {\tan(\arctan(x))+\tan \left(\arctan \left({\tfrac {3}{2}}x\right)\right)}{1-\tan(\arctan(x)).\tan \left(\arctan \left({\frac {3}{2}}x\right)\right)}}=1$

وبما أن $\tan(\arctan(t))=t$ لكل $t$ من $\mathbb {R}$ ، فإن المعادلة $(E')$ تُكافئ : ${\frac {x+{\tfrac {3}{2}}x}{1-{\tfrac {3}{2}}x^{2}}}=1$ ، أي : $3x^{2}+5x-2=0$

وبالتالي فإن للمعادلة $(E')$ حلين هما $-2$ و ${\frac {1}{3}}$

ونظرا لعدم تكافؤ المعادلتين $(E)$ و $(E')$ وجب التحقق إن كان العددان $-2$ و ${\frac {1}{3}}$ هما فعلا حلين للمعادلة $(E)$

• بالنسبة للعدد $-2$ : العددان $\arctan(-2)$ و $\arctan(-3)$ سالبان، وبالتالي لا يمكن أن يكون $-2$ حلا للمعادلة لأن ${\frac {\pi }{4}}$ عدد موجب.
• بالنسبة للعدد ${\frac {1}{3}}$ :

بما أن : $0<{\frac {1}{3}}<1$ و $0<{\frac {1}{2}}<1$ فإن : $0<\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)<{\frac {\pi }{4}}$ و $0<\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)<{\frac {\pi }{4}}$ ، ومنه : $0<\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)<{\frac {\pi }{2}}$

لدينا : $\tan \left(\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{2}}\right)=\tan {\frac {\pi }{4}}$ و $\left(\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{2}}\right)\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$ و ${\frac {\pi }{4}}\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$

إذن : $\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{4}}$ ، وهذا يعني أن العدد ${\frac {1}{3}}$ هو بالفعل حل للمعادلة $(E)$

إذن مجموعة حلول المعادلة $(E)$ هي : $S=\left\{{\frac {1}{3}}\right\}$