الاشتقاق/القابلية للاشتقاق

القابلية للاشتقاق

قابلية اشتقاق دالة في عدد

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وُجِدَ عدد حقيقي $\ell$ بحيث : $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$

العدد $\ell$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f^{\prime }(a)$

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق في عدد حقيقي $a$

• المستقيم الذي معادلته : $y=f^{\prime }(a).(x-a)+f(a)$ يسمى مماس منحنى الدالة $f$ في النقطة التي أُفصولها $a$
• الدالة $x\mapsto f^{\prime }(a).(x-a)+f(a)$ تسمى التقريب التآلفي للدالة $f$ بجوار العدد $a$

ونكتب : $f(x)\simeq f^{\prime }(a).(x-a)+f(a)$ بجوار $a$ ، أو $f(a+h)\simeq h.f^{\prime }(a)+f(a)$ بجوار $0$

قابلية الاشتقاق على اليمين - قابلية الاشتقاق على اليسار

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليمين

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,a+r[$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي ${\ell }_1$ بحيث : $\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}={\ell }_1$

العدد ${\ell }_1$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليمين في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز ${f_d}^{\prime }(a)$ ونكتب ${f_d}^{\prime }(a)=l_1$

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليسار

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $]a-r,a]$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي ${\ell }_2$ بحيث : $\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}={\ell }_2$

العدد ${\ell }_2$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليسار في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز ${f_g}^{\prime }(a)$ ونكتب ${f_g}^{\prime }(a)=l_2$

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

تكون $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار في $a$ و ${f_d}^{\prime }(a)={f_g}^{\prime }(a)$

قابلية اشتقاق دالة على مجال

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,b]$ ($a<b$)

• نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل عدد من $]a,b[$
• الدالة التي تربط كل عدد $x$ من $]a,b[$ بالعدد المشتق $f^{\prime }(x)$ تسمى الدالة المشتقة للدالة $f$ على المجال $]a,b[$ ، ويُرمَزُ لها بالرمز $f^{\prime }$
• نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على القطعة $[a,b]$ إذا كانت قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وقابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ وعلى اليسار في $b$

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

الدالة $f$	قابلة للاشتقاق على	الدالة المشتقة $f^{\prime }$
$x\mapsto k,(k\in ℝ)$	$ℝ$	$x\mapsto 0$
$x\mapsto ax,(a\in {ℝ}^{\ast })$	$ℝ$	$x\mapsto a$
$x\mapsto x^n,(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$	$ℝ$	$x\mapsto n{x}^{n-1}$
$x\mapsto \frac{1}{x}$	${ℝ}^{-\ast }$ أو ${ℝ}^{+\ast }$	$x\mapsto \frac{-1}{x^2}$
$x\mapsto \sqrt{x}$	${ℝ}^{+\ast }$	$x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$x\mapsto \cos (x)$	$ℝ$	$x\mapsto -\sin (x)$
$x\mapsto \sin (x)$	$ℝ$	$x\mapsto \cos (x)$
$x\mapsto \tan (x)$	$]-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi [,k\in \mathbb{Z}$	$x\mapsto 1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
$x\mapsto \cos (ax+b),(a\in {ℝ}^{\ast })$	$ℝ$	$x\mapsto -a\sin (ax+b)$
$x\mapsto \sin (ax+b),(a\in {ℝ}^{\ast })$	$ℝ$	$x\mapsto a\cos (ax+b)$

الكتابة التفاضلية

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، وإذا وضعنا $y=f(x)$ ، فإنه يمكن استعمال الكتابة التفاضلية: $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ أو $dy=f^{\prime }(x)dx$

في مادة الفيزياء، إذا كانت $x$ دالة للمتغير $t$ بحيث $x=\frac{1}{2}{t}^2+3t+1$ فإننا نكتب : $\frac{dx}{dt}=t+3$

العمليات على الدوال القابلة للاشتقاق

خاصية

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ و $\alpha$ عددا حقيقيا. لدينا :

• $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$ و $(\alpha .u{)}^{\prime }=\alpha .u^{\prime }$ و $(u.v{)}^{\prime }=u^{\prime }.v+u.v^{\prime }$ و $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }.u^{n-1}$ حيث $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
• إذا كانت $v(x)\ne 0$ لكل $x$ من $I$ فإن : $\left(\frac{1}{v}\right)=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$ و $\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$