التكامل/تكامل دالة متصلة على قطعة

تكامل دالة متصلة على قطعة

تعريف

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مفتوح $I$ و $a$ و $b$ عنصرين من $I$

العدد الحقيقي $F(b)-F(a)$ ، حيث $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $I$ ، يسمى تكامل الدالة $f$ من $a$ إلى $b$ ويُرمز له بالرمز ${\int }_a^{b}f(x)dx$

${\int }_a^{b}f(x)dx$ يُقرأ كذلك "مجموع $f(x)dx$ من $a$ إلى $b$" ونكتب : ${\int }_a^{b}f(x)dx={[F(x)]}_a^b=F(b)-F(a)$

ملاحظة :

في الكتابة ${\int }_a^{b}f(x)dx$ يُكمن تعويض الحرف $x$ بأي حرف آخر.

وبناء عليه، فإن التكاملات ${\int }_a^{b}f(x)dx$ و ${\int }_a^{b}f(t)dt$ و ${\int }_a^{b}f(u)du$ و ${\int }_a^{b}f(y)dy$ كلها متساوية.

الخاصيات الجبرية للتكامل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ ، لدينا لكل $a$ و $b$ و $c$ من $I$ :

• ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$
• ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$
• ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$ (علاقة شال)

خاصية : الخطانية

لتكن $f$ و $g$ دالتين متصلتين على مجال $I$ ،

لكل عنصرين $a$ و $b$ من $I$ ولكل عدد حقيقي ثابت $\alpha$ ، لدينا :

• ${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$
• ${\int }_a^b\alpha f(x)dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx$

التأويل الهندسي للتكامل

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة وموجبة على قطعة $[a,b]$ و $(C)$ منحناها في معلم متعامد.

مساحة الحيز المحصور بين المنحنى $(C)$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=a$ و $x=b$ هي ${\int }_a^{b}f(x)dx$ (بوحدة قياس المساحة).