التكامل/تقنيات لحساب تكامل

تقنيات لحساب تكامل

لحساب تكامل، نستعمل جدول الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية والخاصيات السابقة. إلا أنه في بعض الحالات ينبغي اللجوء إلى بعض التقنيات التي تمكن من تبسيط حساب هذا التكامل.

ومن بين هذه التقنيات سنتطرق إلى تقنية المكاملة بالأجزاء وتقنية تغيير المتغير.

المكاملة بالأجزاء

خاصية

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال مفتوح $I$ بحيث $u'$ و $v'$ متصلتان على $I$

لكل $a$ و $b$ من $I$ لدينا : $\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx$

المكاملة بتغيير المتغير

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال $I$ ، و $g$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $J$ بحيث $g'$ متصلة على $J$ و $g(J)\subset I$

لكل $a$ و $b$ من $J$ لدينا : $\int _{a}^{b}f((g(x)).g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(t)\,dt$

عمليا :

على "الطريقة الفيزيائية"، إذا وضعنا $t=g(x)$ فإن : ${\frac {dt}{dx}}=g'(x)$ ، وبالتالي فإن : $dt=g'(x)\,dx$

ومنه فإن التعبير $f(g(x)).g'(x)\,dx$ سيصبح $f(t)\,dt$

ولدينا أيضا : ${\begin{cases}x=a\Rightarrow t=g(a)\\x=b\Rightarrow t=g(b)\end{cases}}$

نقول إننا أجرينا "تغييرا للمتغير بوضع $t=g(x)$"