الدوال الأسية/الدالة الأسية النيبيرية

الدالة الأسية النيبيرية

دالة اللوغاريتم النيبيري $\ln$ تقابل من ${ℝ}^{+\ast }$ نحو $ℝ$

تعريف الدالة الأسية النيبيرية

الدالة العكسية للدالة $\ln$ تسمى الدالة الأسية النيبيرية ويُرمز لها بالرمز $\exp$

ليكن $r$ عددا جذريا، لدينا : $\ln (\exp (r))=r$ ونعلم أن : $\ln (e^r)=r\ln e=r$ إذن : $\ln (\exp (r))=\ln (e^r)$

وبالتالي : $\exp (r)=e^r$ لكل $r$ من $\mathbb{Q}$

نمدد هذه الكتابة إلى المجموعة $ℝ$ فنكتب : $\exp (x)=e^x$ لكل $x$ من $ℝ$ .

لازمة

• الدالة $\exp$ معرفة ومتصلة على $ℝ$
• لكل $x$ من $ℝ$ : $e^x>0$
• لكل $x$ من $ℝ$ ولكل $y$ من ${ℝ}^{+\ast }$ : $e^x=y⟺x=\ln y$
• لكل $x$ من $ℝ$ : $\ln (e^x)=x$ ولكل $x$ من ${ℝ}^{+\ast }$ : $e^{\ln x}=x$
• الدالة $\exp$ تزايدية قطعا على $ℝ$
• لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ، لدينا : $e^x=e^y⟺x=y$ و $e^x<e^y⟺x<y$
• لكل عدد حقيقي $x$ ، لدينا : $e^x=1⟺x=0$ و $e^x>1⟺x>0$ و $e^x<1⟺x<0$

خاصيات جبرية للدالة $\exp$

خاصية

لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ولكل عدد جذري $r$ ، لدينا :

$\begin{array}{cccc}{e}^{x-y}& =\frac{e^x}{e^y}& e^{x+y}& =e^x{e}^y\\ (e^x{)}^r& =e^{rx}& e^{-x}& =\frac{1}{e^x}\end{array}$

نهايات هامة

خاصية

• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x}=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}x{e}^x=0$
• $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$

خاصية

لكل $n$ من ${\mathbb{N}}^{\ast }$ لدينا : $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^n{e}^x=0$ و $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x^n}=+\mathrm{\infty }$

التمثيل المبياني للدالة $\exp$

• بما أن الدالة $\exp$ هي الدالة العكسية للدالة $\ln$ فإن منحنى الدالة $\exp$ في معلم متعامد ممنظم، هو مماثل منحنى الدالة $\ln$ بالنسبة للمستقيم الذي معادلته $y=x$ (المنصف الأول للمعلم).
• منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأفاصيل كمقارب أفقي بجوار $-\mathrm{\infty }$ (لأن $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$ )
• منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأراتيب كاتجاه مقارب بجوار $+\mathrm{\infty }$ (لأن $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$ و $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{x}=+\mathrm{\infty }$ )
• المستقيم ذو المعادلة $y=x+1$ هو المماس لمنحنى الدالة $\exp$ في النقطة $J(0,1)$

مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

خاصية

الدالة $\exp$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ ولدينا لكل $x$ من $ℝ$ : ${\exp }^{\prime }(x)=e^x$

${\exp }^{\prime }=\exp$

ملاحظة : الدالة التآلفية $x\mapsto x+1$ هي تقريب للدالة $\exp$ بجوار $0$ أي : $e^x\simeq x+1$ بجوار $0$

مشتقة الدالة $x\mapsto e^{u(x)}$

خاصية

إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$

فإن الدالة $f:x\mapsto e^{u(x)}$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)e^{u(x)}$

لازمة

لتكن $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$

الدوال الأصلية للدالة $x\mapsto u^{\prime }(x)e^{u(x)}$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto e^{u(x)}+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.