الدوال الأسية/الدالة الأسية للأساس a

الدالة الأسية للأساس $a$

ليكن $a$ عنصرا من $ℝ^{+ *} ∖ {1}$ ، الدالة $\log_{a}$ تقابل من $ℝ^{+ *}$ نحو $ℝ$

تعريف

الدالة العكسية للدالة $\log_{a}$ تسمى الدالة الأسية للأساس $a$ ويُرمز لها بالرمز $\exp_{a}$

كتابة أخرى للعدد $\exp_{a} (x)$

لكل $x$ من $ℝ$ ولكل $y$ من $ℝ^{+ *}$ ، لدينا :

$\begin{matrix} x = \log_{a} (y) & ⟺ \exp_{a} (x) = y \\ x = \frac{\ln y}{\ln a} & ⟺ \exp_{a} (x) = y \\ \ln y = x \ln a & ⟺ \exp_{a} (x) = y \\ y = e^{x \ln a} & ⟺ \exp_{a} (x) = y \end{matrix}$ إذن $\exp_{a} = e^{x \ln a}$ لكل $x$ من $ℝ$

ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$ . لكل $r$ من $ℚ$ لدينا $\exp_{a} (r) = e^{r \ln a} = {(e^{\ln a})}^{r}$ أي : $\exp_{a} (r) = a^{r}$ نمدد هذه الكتابة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فنكتب لكل $x$ من $ℝ$ : $\exp_{a} (x) = a^{x}$

ملاحظة : يمكن في الكتابة $a^{x}$ اعتبار الحالة $a = 1$ فيكون لدينا : $1^{x} = 1$ لكل $x$ من $ℝ$

خاصيات جبرية للدالة $\exp_{a}$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين قطعا. لكل $x$ و $y$ من $ℝ$ لدينا :

$a^{x + y} = a^{x} + a^{y}$
$a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$
$a^{x - y} = \frac{a^{x}}{a^{y}}$
$(a^{x})^{y} = a^{x y}$
$(a b)^{x} = a^{x} b^{x}$
${(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$

مشتقة الدالة $\exp_{a}$

خاصية

الدالة $\exp_{a}$ قابلة للاشتقاق على $ℝ$ ولدينا لكل $x$ من $ℝ$ : $(\exp_{a})^{'} (x) = (\ln a) . a^{x}$

ملاحظة : إذا كان $a > 1$ فإن الدالة $\exp_{a}$ تزايدية قطعا على $ℝ$ ، وإذا كان $0 < a < 1$ فإن الدالة $\exp_{a}$ تناقصية قطعا على $ℝ$

نهايات الدالة $\exp_{a}$

خاصية

إذا كان $a > 1$ فإن : $lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$ و $lim_{x \to + \infty} a^{x} = + \infty$

وإذا كان $0 < a < 1$ فإن : $lim_{x \to - \infty} a^{x} = + \infty$ و $lim_{x \to + \infty} a^{x} = 0$

الدوال الأسية

الدالة الأسية النيبيرية

الدالة الأسية للأساس a

كتابة أخرى للعدد expa(x)

خاصيات جبرية للدالة expa

مشتقة الدالة expa

نهايات الدالة expa

الدالة الأسية للأساس $a$

كتابة أخرى للعدد $\exp_{a} (x)$

خاصيات جبرية للدالة $\exp_{a}$

مشتقة الدالة $\exp_{a}$

نهايات الدالة $\exp_{a}$