الدوال اللوغاريتمية/دالة اللوغاريتم النيبيري

دالة اللوغاريتم النيبيري

الدالة $x\mapsto \frac{1}{x}$ تقبل دوالا أصلية على $]0,+\mathrm{\infty }[$ لأنها متصلة على هذا المجال.

تعريف دالة اللوغاريتم النيبيري

الدالة الأصلية للدالة $x\mapsto \frac{1}{x}$ على المجال $]0,+\mathrm{\infty }[$ ، والتي تنعدم في $1$ تسمى دالة اللوغاريتم النيبيري، ويُرمز لها بالرمز $\ln$

لازمة

• مجموعة تعريف الدالة $\ln$ هي $]0,+\mathrm{\infty }[$
• $\ln 1=0$
• الدالة $\ln$ متصلة وقابلة للاشتقاق على المجال $]0,+\mathrm{\infty }[$ ودالتها المشتقة هي الدالة $x\mapsto \frac{1}{x}$
• الدالة $\ln$ تزايدية قطعا على $]0,+\mathrm{\infty }[$
• الدالة $\ln$ تقابل من المجال $]0,+\mathrm{\infty }[$ نحو صورته بهذه الدالة.
• لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ لدينا : $$\begin{array}{cc}\ln x=\ln y& ⟺x=y\\ \ln x>\ln y& ⟺x>y\\ \ln x>0& ⟺x>1\\ \ln x<0& ⟺0<x<1\end{array}$$

خاصية أساسية

لكل $x$ و $y$ من ${ℝ}^{+\ast }$ لدينا : $\ln (xy)=\ln x+\ln y$

خاصية

لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ ولكل $r$ من ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ ، لدينا :

$\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x$ و $\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$ و $\ln (x^r)=r\ln x$

ملاحظات :

• إذا كانت $a_1$ و $a_2$ و ... و $a_n$ أعداد حقيقية موجبة قطعا فإن : $\ln \left(\prod _{i=1}^n{a}_i\right)=\sum _{i=1}^n\ln (a_i)$
• لكل عددين حقيقيين سالبين قطعا $x$ و $y$ لدينا : $\ln (xy)=\ln (-x)+\ln (-y)$ و $\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (-x)-\ln (-y)$ و $\ln (x^2)=2\ln x$

نهاية $\ln$ عند $+\mathrm{\infty }$ وعلى اليمين في صفر

خاصية

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (x)=+\mathrm{\infty }$
• $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln (x)=-\mathrm{\infty }$

خاصية

الدالة $\ln$ تقابل من المجال $]0,+\mathrm{\infty }[$ نحو $ℝ$

نهايات لوغاريتمية أساسية أخرى

خاصية

• $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x\ln (x)=0$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (x)}{x}=0$
• $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln (x)}{x-1}=1$
• $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^n\ln (x)=0$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (x)}{x^n}=0$

العدد $e$

الدالة $\ln$ تقابل من ${ℝ}^{+\ast }$ نحو $ℝ$ ، إذن المعادلة $\ln (x)=1$ تقبل حلا وحيدا في ${ℝ}^{+\ast }$ . يُرمز لهذا الحل بالحرف $e$

لدينا إذن : $\ln (e)=1$ و $\ln (x)=1⟺x=e$

نقبل أن العدد $e$ ليس جذريا ($e\notin \mathbb{Q}$) وقيمة مقربة له هي 2.71828

ملاحظة : لكل $r$ من $\mathbb{Q}$ لدينا : $\ln (e^r)=r$

التمثيل المبياني للدالة $\ln$

لدينا $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln (x)=-\mathrm{\infty }$ ، إذن منحنى الدالة $\ln$ يقبل محور الأراتيب كمُقارب رأسي.

ولدينا $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (x)=+\mathrm{\infty }$ و $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (x)}{x}=0$ ، إذن منحنى الدالة $\ln$ يقبل اتجاه محور الأفاصيل كاتجاه مقارب.

منحنى الدالة $\ln$ يمر بالخصوص من النقطتين $A(1,0)$ و $B(e,1)$

المشتقة اللوغاريتمية

خاصية

إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ ولا تنعدم على $I$، فإن الدالة $f:x\mapsto \ln |u(x)|$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا : $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$ لكل $x$ من $I$

الدالة $\frac{u^{\prime }}{u}$ تسمى المشتقة اللوغاريتمية للدالة $u$ على المجال $I$

لازمة

لتكن $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ ولا تنعدم على $I$،

الدوال الأصلية للدالة $x\mapsto \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto \ln |u(x)|+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.