الدوال اللوغاريتمية/دالة اللوغاريتم للأساس a

دالة اللوغاريتم للأساس $a$

تعريف

ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$

الدالة $x\mapsto {\frac {\ln x}{\ln a}}$ المعرفة على $]0,+\infty [$ تسمى دالة اللوغاريتم للأساس $a$ ، ويُرمز لها بالرمز $\log _{a}$

مثال : لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ لدينا : $\log _{7}(x)={\frac {\ln x}{\ln 7}}$

ملاحظات :

• دالة اللوغاريتم النيبيري هي دالة اللوغاريتم للأساس $e$ لأن : $\log _{e}x={\frac {\ln x}{\ln e}}={\frac {\ln x}{1}}=\ln x$ لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$
• $\log _{a}a=1$ و $\log _{a}1=0$
• لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ لدينا : $\log _{a}'(x)={\frac {1}{x\ln a}}$
• إذا كان $a>1$ فإن الدالة $\log _{a}$ تزايدية قطعا على $\mathbb {R} ^{+*}$ ، وإذا كان $0<a<1$ فإن الدالة $\log _{a}$ تناقصية قطعا على $\mathbb {R} ^{+*}$

خاصية

لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ ولكل عدد جذري غير منعدم $r$ لدينا :

${\begin{aligned}\log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)&=-\log _{a}(x)\qquad &\log _{a}(xy)&=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)\\\log _{a}(x^{r})&=r\log _{a}(x)\qquad &\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)&=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)\end{aligned}}$

اللوغاريتم العشري

تعريف

الدالة اللوغاريتمية التي أساسها $10$ تسمى دالة اللوغاريتم العشري ويُرمز لها بالرمز $\log$

ملاحظات :

• لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $\log(x)={\frac {\ln x}{\ln 10}}$
• $\log 1=0$ و $\log 10=1$
• لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ ولكل $r$ من $\mathbb {Q}$ : $\log(x)=r\iff x=10^{r}$

في الكيمياء، يُعَرَّف $\mathrm {pH}$ محلول بالعلاقة $\mathrm {pH} =-\log[\mathrm {H} ^{+}]$ حيث $[\mathrm {H} ^{+}]$ يمثل تركيز أيونات الهيدروجين في المحلول.