الدوال اللوغاريتمية/دالة اللوغاريتم للأساس a

دالة اللوغاريتم للأساس $a$

تعريف

ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$

الدالة $x \mapsto \frac{\ln x}{\ln a}$ المعرفة على $] 0, + \infty [$ تسمى دالة اللوغاريتم للأساس $a$ ، ويُرمز لها بالرمز $\log_{a}$

مثال : لكل $x$ من $ℝ^{+ *}$ لدينا : $\log_{7} (x) = \frac{\ln x}{\ln 7}$

ملاحظات :

دالة اللوغاريتم النيبيري هي دالة اللوغاريتم للأساس $e$ لأن : $\log_{e} x = \frac{\ln x}{\ln e} = \frac{\ln x}{1} = \ln x$ لكل $x$ من $ℝ^{+ *}$
$\log_{a} a = 1$ و $\log_{a} 1 = 0$
لكل $x$ من $ℝ^{+ *}$ لدينا : ${\log^{'}}_{a} (x) = \frac{1}{x \ln a}$
إذا كان $a > 1$ فإن الدالة $\log_{a}$ تزايدية قطعا على $ℝ^{+ *}$ ، وإذا كان $0 < a < 1$ فإن الدالة $\log_{a}$ تناقصية قطعا على $ℝ^{+ *}$

خاصية

لكل عددين حقيقيين موجبين قطعا $x$ و $y$ ولكل عدد جذري غير منعدم $r$ لدينا :

$\begin{matrix} \log_{a} (\frac{1}{x}) & = - \log_{a} (x) & \log_{a} (x y) & = \log_{a} (x) + \log_{a} (y) \\ \log_{a} (x^{r}) & = r \log_{a} (x) & \log_{a} (\frac{x}{y}) & = \log_{a} (x) - \log_{a} (y) \end{matrix}$

اللوغاريتم العشري

تعريف

الدالة اللوغاريتمية التي أساسها $10$ تسمى دالة اللوغاريتم العشري ويُرمز لها بالرمز $\log$

ملاحظات :

لكل $x$ من $ℝ^{+ *}$ : $\log (x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$
$\log 1 = 0$ و $\log 10 = 1$
لكل $x$ من $ℝ^{+ *}$ ولكل $r$ من $ℚ$ : $\log (x) = r ⟺ x = 1 0^{r}$

في الكيمياء، يُعَرَّف $p H$ محلول بالعلاقة $p H = - \log [H^{+}]$ حيث $[H^{+}]$ يمثل تركيز أيونات الهيدروجين في المحلول.

الدوال اللوغاريتمية

دالة اللوغاريتم النيبيري