نهاية متتالية/مصاديق التقارب

مصاديق التقارب

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين و $ℓ$ عددا حقيقيا بحيث $| u_{n} - ℓ | \leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ و $(w_{n})$ ثلاث متتاليات عددية وليكن $ℓ$ عددا حقيقيا بحيث $w_{n} \leq u_{n} \leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $lim_{n \to + \infty} v_{n} = ℓ$ و $lim_{n \to + \infty} w_{n} = ℓ$ ، فإن المتتالية $(u_{n})$ متقاربة و $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$

خاصية

لتكن $(u_{n})$ و $(v_{n})$ متتاليتين عدديتين بحيث $u_{n} \leq v_{n}$ انطلاقا من رتبة معينة.

إذا كان $lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ فإن : $lim_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$

وإذا كان $lim_{n \to + \infty} v_{n} = - \infty$ فإن : $lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$

الرتابة والتقارب

خاصية

كل متتالية تزايدية ومكبورة هي متتالية متقاربة.
كل متتالية تناقصية ومصغورة هي متتالية متقاربة.

ملاحظة : هذه الخاصية تبين فقط أن المتتالية متقاربة دون تحديد نهايتها.

خاصية

كل متتالية تزايدية وغير مكبورة نهايتها $+ \infty$
كل متتالية تناقصية وغير مصغورة نهايتها $- \infty$

نهاية المتتالية $(n^{r})_{n}$ حيث $r \in ℚ^{*}$

خاصية

ليكن $r$ عددا جذريا غير منعدم.
إذا كان $r > 0$ فإن : $lim_{n \to + \infty} n^{r} = + \infty$
إذا كان $r < 0$ فإن : $lim_{n \to + \infty} n^{r} = 0$

أمثلة :

$lim_{n \to + \infty} n^{- 1 / 2} = 0, lim_{n \to + \infty} n^{1 / 2} = + \infty$

نهاية المتتالية الهندسية $(q^{n})_{n}$ حيث $q \in ℝ^{*}$

خاصية

ليكن $q$ عددا حقيقيا غير منعدم.

إذا كان $q > 1$ فإن : $lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$
إذا كان $q = 1$ فإن : $lim_{n \to + \infty} q^{n} = 1$
إذا كان $- 1 < q < 1$ فإن : $lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$
إذا كان $q \leq - 1$ فإن المتتالية $(q^{n})_{n}$ ليست لها نهاية

نهاية متتالية من نوع $u_{n + 1} = f (u_{n})$

خاصية

لتكن $f$ دالة متصلة على مجال مغلق $I$ بحيث $f (I) \subset I$ ، ولتكن $(u_{n})$ متتالية معرفة بما يلي : $u_{0} \in I$ و $u_{n + 1} = f (u_{n})$ لكل $n$ من $ℕ$

إذا كانت $(u_{n})$ متقاربة فإن نهايتها هي حل للمعادلة $f (x) = x$

نهاية متتالية من نوع $v_{n} = f (u_{n})$

خاصية

إذا كانت متتالية $(u_{n})$ متقاربة نهايتها $ℓ$ وكانت دالة $f$ متصلة في $ℓ$

فإن المتتالية $(v_{n})$ ، المعرفة بما يلي $v_{n} = f (u_{n})$ ، متقاربة ونهايتها $f (ℓ)$

نهاية متتالية

النهايات والترتيب

متتاليتان متحاديتان

مصاديق التقارب

الرتابة والتقارب

نهاية المتتالية (nr)n حيث r∈ℚ∗

نهاية المتتالية الهندسية (qn)n حيث q∈ℝ∗

نهاية متتالية من نوع un+1=f(un)

نهاية متتالية من نوع vn=f(un)

نهاية المتتالية $(n^{r})_{n}$ حيث $r \in ℚ^{*}$

نهاية المتتالية الهندسية $(q^{n})_{n}$ حيث $q \in ℝ^{*}$

نهاية متتالية من نوع $u_{n + 1} = f (u_{n})$

نهاية متتالية من نوع $v_{n} = f (u_{n})$