الاتصال/دالة الجذر من الرتبة n

دالة الجذر من الرتبة $n$

تعريف

ليكن $n$ عنصرا من $\mathbb {N} ^{*}\smallsetminus \left\{1\right\}$

دالة الجذر من الرتبة $n$ هي الدالة العكسية لقصور الدالة $x\mapsto x^{n}$ على $\mathbb {R} ^{+}$

يُرمز لصورة عدد حقيقي موجب $x$ بدالة الجذر من الرتبة $n$ بالرمز ${\sqrt[{n}]{x}}$ ويُقرأ الجذر من الرتبة $n$ للعدد $x$

ولدينا لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R} ^{+}$ : ${\sqrt[{n}]{x}}=y\iff x=y^{n}$

لازمة

• لكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+}$ : ${\sqrt[{n}]{x^{n}}}=x$ و $({\sqrt[{n}]{x}})^{n}=x$
• لكل $x$ و $y$ من $\mathbb {R} ^{+}$ : ${\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{n}]{y}}\iff x=y$ و ${\sqrt[{n}]{x}}>{\sqrt[{n}]{y}}\iff x>y$
• الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ متصلة على $\mathbb {R} ^{+}$ و $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{n}]{x}}=+\infty$

العمليات على الجذور من الرتبة $n$

خاصية

ليكن $n$ و $p$ عنصرين من $\mathbb {N} ^{*}\smallsetminus \left\{1\right\}$ و $a$ و $b$ عنصرين من $\mathbb {R} ^{+}$، لدينا:

• ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$
• لكل $b\neq 0$ : ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
• ${\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{np}]{a^{p}}}$
• ${\sqrt[{n}]{\sqrt[{p}]{a}}}={\sqrt[{np}]{a}}$

اتصال ونهاية مركب دالة ودالة الجذر من الرتبة $n$

خاصية

لتكن $u$ دالة معرفة وموجبة على مجال $I$ و $a$ عنصرا من $I$

• إذا كانت $u$ متصلة على $I$ فإن الدالة $x\mapsto {\sqrt[{n}]{u(x)}}$ متصلة على $I$
• إذا كان $\lim _{x\to a}u(x)=\ell$ فإن : $\lim _{x\to a}{\sqrt[{n}]{u(x)}}={\sqrt[{n}]{\ell }}$
• إذا كان $\lim _{x\to a}u(x)=+\infty$ فإن : $\lim _{x\to a}{\sqrt[{n}]{u(x)}}=+\infty$

القوة الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا

تعريف

ليكن $x$ عددا حقيقيا موجبا قطعا و ${\frac {p}{q}}$ عددا جذريا غير منعدم حيث $p\in \mathbb {Z} ^{*}$ و $q\in \mathbb {Z} ^{*}$

العدد $x^{\frac {p}{q}}$ هو العدد ${\sqrt[{q}]{x^{p}}}$ ويسمى القوة الجذرية للعدد $x$ ذات الأس ${\frac {p}{q}}$

العمليات على القوى الجذرية

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عنصرين من $\mathbb {R} ^{+*}$، و $r$ و $r'$ عنصرين من $\mathbb {Q}$، لدينا:

$(a^{r})^{r'}=a^{rr'}\quad ;\quad (ab)^{r}=a^{r}b^{r}\quad ;\quad a^{r}a^{r'}=a^{r+r'}$

${\frac {a^{r}}{a^{r'}}}=a^{r-r'}\quad ;\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}\quad ;\quad a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}$

ملاحظة : القوى الجذرية لعدد حقيقي موجب قطعا لها نفس خاصيات القوى الصحيحة لعدد حقيقي غير منعدم.