الاشتقاق/القابلية للاشتقاق

القابلية للاشتقاق

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وُجِدَ عدد حقيقي $\ell$ بحيث : $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell$

العدد $\ell$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f'(a)$

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق في عدد حقيقي $a$

المستقيم الذي معادلته : $y=f'(a).(x-a)+f(a)$ يسمى مماس منحنى الدالة $f$ في النقطة التي أُفصولها $a$
الدالة $x\mapsto f'(a).(x-a)+f(a)$ تسمى التقريب التآلفي للدالة $f$ بجوار العدد $a$

ونكتب : $f(x)\simeq f'(a).(x-a)+f(a)$ بجوار $a$ ، أو $f(a+h)\simeq h.f'(a)+f(a)$ بجوار $0$

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليمين

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,a+r[$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي $\ell _{1}$ بحيث : $\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell _{1}$

العدد $\ell _{1}$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليمين في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f_{d}'(a)$ ونكتب $f_{d}'(a)=l_{1}$

تعريف : قابلية الاشتقاق على اليسار

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $]a-r,a]$ حيث $r$ عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار في $a$ إذا وُجِد عدد حقيقي $\ell _{2}$ بحيث : $\lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell _{2}$

العدد $\ell _{2}$ يسمى العدد المشتق للدالة $f$ على اليسار في $a$ ، ويُرمَز له بالرمز $f_{g}'(a)$ ونكتب $f_{g}'(a)=l_{2}$

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح $I$ وليكن $a$ عنصرا من $I$

تكون $f$ قابلة للاشتقاق في العدد $a$ إذا وفقط إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار في $a$ و $f_{d}'(a)=f_{g}'(a)$

تعريف

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $[a,b]$ ( $a<b$ )

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل عدد من $]a,b[$
الدالة التي تربط كل عدد $x$ من $]a,b[$ بالعدد المشتق $f'(x)$ تسمى الدالة المشتقة للدالة $f$ على المجال $]a,b[$ ، ويُرمَزُ لها بالرمز $f'$
نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على القطعة $[a,b]$ إذا كانت قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح $]a,b[$ ، وقابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ وعلى اليسار في $b$

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية
الدالة $f$	قابلة للاشتقاق على	الدالة المشتقة $f'$
$x\mapsto k,(k\in \mathbb {R} )$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto 0$
$x\mapsto ax,(a\in \mathbb {R} ^{*})$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto a$
$x\mapsto x^{n},(n\in \mathbb {N} ^{*})$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto nx^{n-1}$
$x\mapsto {\frac {1}{x}}$	$\mathbb {R} ^{-}$ أو $\mathbb {R} ^{+}$	$x\mapsto {\frac {-1}{x^{2}}}$
$x\mapsto {\sqrt {x}}$	$\mathbb {R} ^{+*}$	$x\mapsto {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
$x\mapsto \cos(x)$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto -\sin(x)$
$x\mapsto \sin(x)$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto \cos(x)$
$x\mapsto \tan(x)$	$\left]-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right[,k\in \mathbb {Z}$	$x\mapsto 1+\tan ^{2}{x}={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$
$x\mapsto \cos(ax+b),(a\in \mathbb {R} ^{*})$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto -a\sin(ax+b)$
$x\mapsto \sin(ax+b),(a\in \mathbb {R} ^{*})$	$\mathbb {R}$	$x\mapsto a\cos(ax+b)$

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، وإذا وضعنا $y=f(x)$ ، فإنه يمكن استعمال الكتابة التفاضلية: $f'(x)={\frac {dy}{dx}}$ أو $dy=f'(x)dx$

في مادة الفيزياء، إذا كانت $x$ دالة للمتغير $t$ بحيث $x={\frac {1}{2}}t^{2}+3t+1$ فإننا نكتب : ${\frac {dx}{dt}}=t+3$

خاصية

لتكن $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ و $\alpha$ عددا حقيقيا. لدينا :

$(u+v)'=u'+v'$ و $(\alpha .u)'=\alpha .u'$ و $(u.v)'=u'.v+u.v'$ و $(u^{n})'=nu'.u^{n-1}$ حيث $n\in \mathbb {N} ^{*}$
إذا كانت $v(x)\neq 0$ لكل $x$ من $I$ فإن : $\left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}}$ و $\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$

الاشتقاق

الاشتقاق