الدوال الأسية/الدالة الأسية النيبيرية

الدالة الأسية النيبيرية

دالة اللوغاريتم النيبيري $\ln$ تقابل من $\mathbb {R} ^{+*}$ نحو $\mathbb {R}$

تعريف الدالة الأسية النيبيرية

الدالة العكسية للدالة $\ln$ تسمى الدالة الأسية النيبيرية ويُرمز لها بالرمز $\exp$

ليكن $r$ عددا جذريا، لدينا : $\ln(\exp(r))=r$ ونعلم أن : $\ln(e^{r})=r\ln e=r$ إذن : $\ln(\exp(r))=\ln(e^{r})$

وبالتالي : $\exp(r)=e^{r}$ لكل $r$ من $\mathbb {Q}$

نمدد هذه الكتابة إلى المجموعة $\mathbb {R}$ فنكتب : $\exp(x)=e^{x}$ لكل $x$ من $\mathbb {R}$ .

لازمة

• الدالة $\exp$ معرفة ومتصلة على $\mathbb {R}$
• لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $e^{x}>0$
• لكل $x$ من $\mathbb {R}$ ولكل $y$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $e^{x}=y\iff x=\ln y$
• لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\ln(e^{x})=x$ ولكل $x$ من $\mathbb {R} ^{+*}$ : $e^{\ln x}=x$
• الدالة $\exp$ تزايدية قطعا على $\mathbb {R}$
• لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ، لدينا : $e^{x}=e^{y}\iff x=y$ و $e^{x}<e^{y}\iff x<y$
• لكل عدد حقيقي $x$ ، لدينا : $e^{x}=1\iff x=0$ و $e^{x}>1\iff x>0$ و $e^{x}<1\iff x<0$

خاصيات جبرية للدالة $\exp$

خاصية

لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ ولكل عدد جذري $r$ ، لدينا :

${\begin{aligned}e^{x-y}&={\frac {e^{x}}{e^{y}}}\qquad &e^{x+y}&=e^{x}e^{y}\\(e^{x})^{r}&=e^{rx}\qquad &e^{-x}&={\frac {1}{e^{x}}}\end{aligned}}$

نهايات هامة

خاصية

• $\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$
• $\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=+\infty$
• $\lim _{x\to -\infty }xe^{x}=0$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$

خاصية

لكل $n$ من $\mathbb {N} ^{*}$ لدينا : $\lim _{x\to -\infty }x^{n}e^{x}=0$ و $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{n}}}=+\infty$

التمثيل المبياني للدالة $\exp$

• بما أن الدالة $\exp$ هي الدالة العكسية للدالة $\ln$ فإن منحنى الدالة $\exp$ في معلم متعامد ممنظم، هو مماثل منحنى الدالة $\ln$ بالنسبة للمستقيم الذي معادلته $y=x$ (المنصف الأول للمعلم).
• منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأفاصيل كمقارب أفقي بجوار $-\infty$ (لأن $\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$ )
• منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأراتيب كاتجاه مقارب بجوار $+\infty$ (لأن $\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$ و $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=+\infty$ )
• المستقيم ذو المعادلة $y=x+1$ هو المماس لمنحنى الدالة $\exp$ في النقطة $J(0,1)$

مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

خاصية

الدالة $\exp$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ ولدينا لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $\exp '(x)=e^{x}$

$\exp '=\exp$

ملاحظة : الدالة التآلفية $x\mapsto x+1$ هي تقريب للدالة $\exp$ بجوار $0$ أي : $e^{x}\simeq x+1$ بجوار $0$

مشتقة الدالة $x\mapsto e^{u(x)}$

خاصية

إذا كانت دالة $u$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$

فإن الدالة $f:x\mapsto e^{u(x)}$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولدينا لكل $x$ من $I$ : $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$

لازمة

لتكن $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$

الدوال الأصلية للدالة $x\mapsto u'(x)e^{u(x)}$ على $I$ هي الدوال $x\mapsto e^{u(x)}+c$ حيث $c$ عدد حقيقي ثابت.