الأعداد العقدية/الأشكال المثلثية لعدد عقدي غير منعدم

الأشكال المثلثية لعدد عقدي غير منعدم

عمدة عدد عقدي معياره الوحدة

تعريف

ليكن $u$ عددا عقديا معياره $1$ : $|u|=1$ .

كل عدد حقيقي $\theta$ بحيث $u=\cos \theta +i\sin \theta$ يُسمى عمدة $u$ (بالفرنسية: Argument، بالإنجليزية: Argument)، ويُرمز له بالرمز $\arg (u)$

خاصية

ليكن $u$ عددا عقديا معياره $1$ : $|u|=1$ .

كل عمدة للعدد العقدي $u$ هو قياس بالراديان للزاوية الموجهة $(\widehat{\overrightarrow{I},\overrightarrow{OP}})$ حيث $P$ هي النقطة الصورة للعدد العقدي $u$ في المستوى العقدي.

عمدة عدد عقدي غير منعدم

تعريف

عمدة العدد العقدي غير المنعدم $z$ هي عمدة العدد $\frac{z}{|z|}$ ، ويُكتب أيضا: $\arg (z)$

وهي أيضا إحدى قياسات الزاوية الموجهة $(\widehat{\overrightarrow{I},\overrightarrow{OM}})$ حيث : $M(z)$

ملاحظات

• $0$ هو العدد الوحيد الذي ليس له عمدة.
• كل عدد عقدي غير منعدم $z$ يقبل ما لا نهاية له من الأعداد الحقيقية عمدة له: إذا كان $\theta$ عمدة للعدد العقدي $z$ ، فإن $\theta +k(2\pi )$ لكل عدد صحيح نسبي $k$ ، هو عمدة كذلك للعدد $z$ : $\arg (z)\equiv \theta \left[2\pi \right]$ .

شكل مثلثي لعدد عقدي غير منعدم

تعريف: المعلمة القطبية

كل نقطة $M$ مخالفة لـ $O$ محددة تمام التحديد بالمسافة $OM=r$ وبقياس $\theta$ للزاوية $(\widehat{\overrightarrow{I},\overrightarrow{OM}})$ ،

الزوج $(r,\theta )$ يسمى زوج الإحداثيتين القطبيتين (بالفرنسية: Coordonnées polaires، بالإنجليزية: Polar coordinates) لـ $M$ بالنسبة للمحور القطبي $(O,\overrightarrow{I})$، و $O$ تسمى القطب.

مثال: إذا كانت $A$ هي النقطة التي زوج إحداثيتيها الديكارتيتين هو $(-1,1)$ في المعلم $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$ ، فإن زوج الإحداثيتين القطبيتين للنقطة $A$ بالنسبة للمحور القطبي $(O,\overrightarrow{I})$ هو $(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$.

خاصية

إذا كانت $M$ نقطة مخالفة لـ $O$ وكان $(x,y)$ هو زوج الإحداثيتين الديكارتيين للنقطة $M$ في المعلم $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$ ، وكان $(r,\theta )$ زوج الإحداثيتين القطبيتين للنقطة في $(O,\overrightarrow{I})$ كمحور قطبي،

فإن : $x=r\cos \theta$ و $y=r\sin \theta$

خاصية

ليكن $z$ عددا عقديا غير منعدم شكله الجبري هو $z=x+iy$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، وليكن $\theta$ عمدة للعدد العقدي $z$ ،

لدينا: $x=|z|\cos \theta$ و $y=|z|\sin \theta$

مبرهنة

كل عدد عقدي غير منعدم $z$ يمكن كتابته : $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$ ، حيث $\theta$ عمدة للعدد $z$ .

تعريف: الشكل المثلثي لعدد عقدي غير منعدم

ليكن $z$ عددا عقديا غير منعدم. كل كتابة من النوع $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$ ، حيث $\theta$ عمدة للعدد $z$، تسمى شكلا مثلثيا للعدد العقدي $z$.

ملاحظة: عدد عقدي غير منعدم معلوم يقبل ما لا نهاية من الأشكال المثلثية.

تعليق: $z=|z|(\cos (\arg (z))+i\sin (\arg (z)))$

مبرهنة

ليكن $z$ عددا عقديا غير منعدم.

إذا كان $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$ ، حيث $r\in {ℝ}_{+}^{\ast }$ و $\theta \in ℝ$

فإن : $|z|=r$ و $\theta \equiv \arg (z)\left[2\pi \right]$

خاصية

ليكن $z$ و $z^{\prime }$ عددين عقديين غير منعدمين. لدينا: $z=z^{\prime }⟺\{\begin{array}{c}|z|=|z^{\prime }|\\ \arg (z)\equiv \arg (z^{\prime })\left[2\pi \right]\end{array}$

خاصيات العمدة

خاصية

لكل عدد عقدي غير منعدم $z$، لدينا: $\arg (z^{\prime })\equiv \arg (z)\left[2\pi \right]$ و $\arg (-z)\equiv \pi +\arg (z)\left[2\pi \right]$

خاصية

• لكل عددين عقديين غير منعدمين $z$ و $t$ ، لدينا : $\arg (zt)\equiv \arg (z)+\arg (t)\left[2\pi \right]$
• لكل عددين حقيقيين $\theta$ و $\phi$ ، لدينا : $(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )=\cos (\theta +\phi )+i\sin (\theta +\phi )$

خاصية

• لكل $n$ من ${\mathbb{N}}^{\ast }$ ، ولكل $z_1$ و $z_2$ و ... و $z_n$ من ${ℂ}^{\ast }$، لدينا: $\arg (z_1{z}_2\mathrm{...}{z}_n)\equiv \arg (z_1)+\arg (z_2)+\mathrm{...}+\arg (z_n)\left[2\pi \right]$ أي : $\arg \left(\prod _{k=1}^n{z}_k\right)\equiv \sum _{k=1}^n\arg (z_k)\left[2\pi \right]$
• لكل $n$ من ${\mathbb{N}}^{\ast }$ ، ولكل ${\theta }_1$ و ${\theta }_2$ و ... و ${\theta }_n$ من $ℝ$، لدينا:

$(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)\mathrm{...}(\cos {\theta }_n+i\sin {\theta }_n)=\cos ({\theta }_1+{\theta }_2+\mathrm{...}+{\theta }_n)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2+\mathrm{...}+{\theta }_n)$

أي بشكل آخر: $\prod _{k=1}^n(\cos {\theta }_k+i\sin {\theta }_k)=\cos \left(\sum _{k=1}^n{\theta }_k\right)+i\sin \left(\sum _{k=1}^n{\theta }_k\right)$

• لكل عددين عقديين غير منعدمين $z$ و $t$ ، لدينا : $\arg \left(\frac{1}{z}\right)\equiv -\arg (z)\left[2\pi \right]$ و $\arg \left(\frac{z}{t}\right)\equiv \arg (z)-\arg (t)\left[2\pi \right]$
• لكل $z$ من ${ℂ}^{\ast }$ و $\theta$ من $ℝ$ و $n$ من $\mathbb{Z}$، لدينا : $\arg (z^n)\equiv n\arg (z)\left[2\pi \right]$
• صيغة مواڤر (بالفرنسية: Formule de Moivre، بالإنجليزية: De Moivre's formula): $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$

زاوية متجهتين وعمدة عدد عقدي

نعتبر أن المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J})$.

خاصية

لتكن $\overrightarrow{u}$ و $\overrightarrow{v}$ متجهتين غير منعدمتين لحقاهما على التوالي $z$ و $t$.

ولتكن $A$ و $B$ و $C$ و $D$ نقطا ألحاقها على التوالي $z_A$ و $z_B$ و $z_C$ و $z_D$ بحيث $A\ne B$ و $C\ne D$.

لدينا:

• $\overline{(\overrightarrow{I},\overrightarrow{u})}\equiv \arg (z)\left[2\pi \right]$ و $\overline{(\overrightarrow{I},\overrightarrow{AB})}\equiv \arg (z_B-z_A)\left[2\pi \right]$ (عمدة لحق $\overrightarrow{AB}$ )
• $\overline{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}\equiv \arg \left(\frac{t}{z}\right)\left[2\pi \right]$ و $\overline{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})}\equiv \arg \left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\left[2\pi \right]$

خاصية

لتكن $\overrightarrow{u}$ و $\overrightarrow{v}$ متجهتين غير منعدمتين لحقاهما على التوالي $z$ و $t$.

ولتكن $A$ و $B$ و $C$ و $D$ نقطا مختلفة مثنى مثنى ألحاقها على التوالي $z_A$ و $z_B$ و $z_C$ و $z_D$.

لدينا:

• تكون $\overrightarrow{u}$ و $\overrightarrow{v}$ مستقيميتين إذا وفقط إذا كان $\arg \left(\frac{t}{z}\right)\equiv 0\left[\pi \right]$ (أي $\frac{t}{z}\in ℝ$)، و $(AB)//(CD)⟺\arg \left(\frac{z_D-z_C}{z_A-z_B}\right)\equiv 0\left[\pi \right]$
• $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}⟺\arg \left(\frac{t}{z}\right)\equiv \frac{\pi }{2}\left[\pi \right]$ و $(AB)\perp (CD)⟺\arg \left(\frac{z_D-z_C}{z_A-z_B}\right)\equiv \frac{\pi }{2}\left[\pi \right]$
• تكون النقط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ مستقيمية أو متداورة (تنتمي إلى نفس الدائرة) إذا وفقط إذا كان : $(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A},\frac{z_C-z_D}{z_B-z_D})\in ℝ$

الترميز الأسي لعدد عقدي غير منعدم

تعريف

لكل عدد حقيقي $\theta$، نرمز بالرمز $e^{i\theta }$ للعدد العقدي الذي معياره $1$ وعمدته $\theta$ ، أي $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

خاصية

لكل عددين حقيقين $\theta$ و $\phi$ لدينا:

• $e^{i(\theta +\phi )}=e^{i\theta }\times e^{i\phi }$
• $e^{-i\theta }=\overline{e^{i\theta }}=\frac{1}{e^{i\theta }}=\cos \theta -i\sin \theta$
• $\frac{e^{i\theta }}{e^{i\phi }}=e^{i(\theta -\phi )}$
• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},{\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }$ . وهي صيغة مواڤر.

مبرهنة

كل عدد عقدي غير منعدم يمكن كتابته على شكل $z=|z|e^{i\theta }$ حيث $\theta$ عمدة للعدد $z$.

تعريف

ليكن $z$ عددا عقديا غير منعدم. كل كتابة من النوع $z=|z|e^{i\theta }$ تسمى كتابة أسية للعدد $z$.

خاصية

لكل عدد حقيقي $x$ لدينا: $\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ و $\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

تطبيقات الأعداد العقدية في الحساب المثلثي

حساب cos(nx) و sin(nx) بدلالة cos(x) و sin(x)

يعتمد حساب $\cos (nx)$ و $\sin (nx)$ (حيث $x\in ℝ$ و $n\in \mathbb{N}$ و $n\ge 2$) بدلالة $\cos x$ و $\sin x$ على صيغة مواڤر وصيغة الحدانية والعلاقة الأساسية ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ . لدينا:

$\cos (nx)=\mathrm{Re}((\cos x+i\sin x{)}^n)$ و $\sin (nx)=\mathrm{Im}((\cos x+i\sin x{)}^n)$

إخطاط الحدوديات المثلثية

تعريف

إخطاط (بالفرنسية: Linéarisation، بالإنجليزية: Linearization) تعبير من النوع ${\cos }^{n}x$ أو ${\sin }^{m}x$ أو ${\cos }^n(x){\sin }^m(x)$ ، حيث $n$ و $m$ عددان صحيحان طبيعيان غير منعدمين، هو تحويل هذه الجداءات إلى مجموع جبري لحدود من النوع $a\cos (px)+b\sin (qx)$ ، حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان، و $p$ و $q$ عددان صحيحان طبيعيان.