الأعداد العقدية/الجذور من الرتبة n لعدد عقدي غير منعدم

الجذور من الرتبة n لعدد عقدي غير منعدم

الجذور من الرتبة n للوحدة

تعريف

ليكن $n\in \mathbb{N}-\{0,1\}$ ، نقول إن عددا عقديا $u$ جذر من الرتبة $n$ (بالفرنسية: Racine n-ième، بالإنجليزية: Nth root) للوحدة (أي للعدد $1$) إذا وفقط إذا كان $u^n=1$ .

يُرمز لمجموعة الجذور من الرتبة $n$ للوحدة بالرمز ${𝕌}_n$ : ${𝕌}_n=\{u\in ℂ,u^n=1\}$

ملاحظة: الجذور من الرتبة $n$ للوحدة هي حلول المعادلة $z^n=1$ في $ℂ$.

مبرهنة

الجذور من الرتبة $n$ للوحدة عددها $n$ ، وهي الأعداد العقدية التي تكتب على شكل $e^{ik\frac{2\pi }{n}}$ حيث $k$ عدد صحيح طبيعي و $0\le k\le n-1$ .

بتعبير آخر: ${𝕌}_n=\{e^{ik\frac{2\pi }{n}},k\in \mathbb{N}\text{ و }0\le k\le n-1\}$ و $\mathrm{card}{𝕌}_n=n$

خاصية

لكل عنصرين $u$ و $v$ من ${𝕌}_n$ :

$uv\in {𝕌}_n$ و $\frac{1}{u}\in {𝕌}_n$

ملاحظة: إذا وضعنا ${\omega }_k=e^{ik\frac{2\pi }{n}}$ فإن : $\frac{1}{{\omega }_k}=\overline{{\omega }_k}={\omega }_{n-k}$

خاصية

ليكن $n\in \mathbb{N}$ و $n\ge 2$. لكل $k$ من $\{0,1,\mathrm{...},n-1\}$، نضع : ${\omega }_k=e^{ik\frac{2\pi }{n}}={\omega }_1^k$

لكل عدد صحيح نسبي $m$ نضع : $S(m)=({\omega }_0{)}^m+({\omega }_1{)}^m+\mathrm{...}+({\omega }_{n-1}{)}^m$

• إذا كان $m$ غير قابل للقسمة على $n$ ، فإن : $S(m)=0$
• إذا كان $m$ قابلا للقسمة على $n$ ، فإن : $S(m)=n$

بصفة خاصة: مجموع الجذور من الرتبة $n$ للوحدة منعدم.

خاصية

ليكن $n\in \mathbb{N}$ و $n\ge 2$. لكل $k$ من $\{0,1,\mathrm{...},n-1\}$، نضع : ${\omega }_k=e^{ik\frac{2\pi }{n}}={\omega }_1^k$ ، ولتكن $M_k$ النقطة التي لحقها ${\omega }_k$.

النقط $M_0$ و $M_1$ و ... و $M_{n-1}$ هي رؤوس مضلع منتظم (محدب) محاط بالدائرة المثلثية.

الجذور من الرتبة n لعدد عقدي غير منعدم

تعريف

ليكن $Z$ عددا عقديا غير منعدم، وليكن $n\in \mathbb{N}$ و $n\ge 2$ .

كل عدد عقدي $z$ يحقق $z^n=Z$ يُسمى جذرا من الرتبة $n$ للعدد $Z$.

مبرهنة

ليكن $Z$ عددا عقديا غير منعدم عمدته $\phi$ : $Z=|Z|e^{i\phi }$ ، وليكن $n\in \mathbb{N}-\{0,1\}$ .

الجذور من الرتبة $n$ للعدد $Z$ هي الأعداد العقدية : $z_k=\sqrt[n]{|Z|}{e}^{(\frac{\phi }{n}+k\frac{2\pi }{n})}$ حيث $k\in \mathbb{N}$ و $0\le k\le n-1$ .