الأعداد العقدية/المجموعة ℂ

المجموعة ℂ

الأعداد العقدية

أو الأعداد المركبة، (بالفرنسية: Nombres complexes، بالإنجليزية: Complex numbers).

المبرهنة الأساسية

توجد مجموعة يُرمز إليها بالرمز $\mathbb {C}$ عناصرها تسمى أعدادا عقدية وتحقق ما يلي:

• $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ ($\mathbb {R}$ضمن $\mathbb {C}$)
• $\mathbb {C}$ مزودة بعمليتي الجمع والضرب تمددان نفس العمليتين في $\mathbb {R}$ ولهما نفس الخاصيات.
• يحتوي $\mathbb {C}$ على عنصر غير حقيقي يُرمز له بالرمز $i$ بحيث $i^{2}=-1$.
• كل عنصر $z$ من $\mathbb {C}$ يُكتب بكيفية وحيدة على الشكل $z=x+iy$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان.
• كل عنصر على الشكل $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، هو عنصر من $\mathbb {C}$.

ملاحظات:

• لدينا: $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$
• عمليتا الجمع والضرب في $\mathbb {C}$ تمثلان امتدادا لعمليتي الجمع والضرب في $\mathbb {R}$ وتبقى جميع الخاصيات الجبرية على الأعداد الحقيقية سارية المفعول على الأعداد العقدية إلا ما يتعلق بالترتيب، فقد أثبت الرياضيون أنه لا يوجد ترتيب في $\mathbb {C}$ منسجم مع العمليتين الأساسيتين (ويتضح عدم الانسجام بشكل بديهي في المربع السالب للعدد $i$)
• لدينا: $\mathbb {C} =\{x+iy,\;(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}$

الشكل الجبري لعدد عقدي

تعريف

• ليكن $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، عددا عقديا.

الكتابة $z=x+iy$ تسمى الشكل الجبري (أو الكتابة الجبرية) للعدد العقدي $z$.

العدد $x$ يسمى الجزء الحقيقي للعدد $z$ ، ويُكتب $x=\operatorname {Re} (z)$

العدد $y$ يُسمى الجزء التخيلي للعدد $z$، ويُكتب $y=\operatorname {Im} (z)$

• إذا كان $\operatorname {Re} (z)=0$ (أي $x=0$)، نقول إن $z$ تخيلي صِرف.

مجموعة الأعداد التخيلية الصرفة يُرمز لها بالرمز $i\mathbb {R}$ : $i\mathbb {R} =\{iy,\;y\in \mathbb {R} \}$

ملاحظات:

• ما يبرر تعريف الشكل الجبري والجزأين الحقيقي والتخيلي هو وحدانية الكتابة $x+iy$ حيث $x$ و $y$ حقيقيان.
• ينبغي الاحتياط في تناول المصطلح تخيلي، فالجزء التخيلي هو عدد حقيقي.
• إذا كان $\operatorname {Im} (z)=0$ فإن $z$ عدد حقيقي.
• كما أن كل عدد حقيقي $x$ يُكتب بكيفية وحيدة على الشكل $x=x+0i$ ، وهكذا : $(\forall z\in \mathbb {C} )\;z\in \mathbb {R} \iff \operatorname {Im} (z)=0$
• الكتابة $z=-5+i(2+i)$ ليست هي الشكل الجبري للعدد $z$ لأن العدد $2+i$ ليس حقيقيا ولا يمثل الجزء التخيلي للعدد العقدي $z$.

تساوي عددين عقديين

خاصية

يكون عددان عقديان متساويين إذا وفقط إذا كان لهما نفس الجزء الحقيقي ونفس الجزء التخيلي.

بتعبير آخر: $\forall (z,z')\in \mathbb {C} ^{2},\;z=z'\iff {\begin{cases}\operatorname {Re} (z)=0\\\operatorname {Im} (z)=0\end{cases}}$

ملاحظات :

• لدينا الحالة الخاصة التالية: يكون عدد عقدي منعدما إذا وفقط إذا كان جزؤه الحقيقي وجزؤه التخيلي منعدمين معا: $\forall z\in \mathbb {C} ,\;z=0\iff {\begin{cases}\operatorname {Re} (z)=0\\\operatorname {Im} (z)=0\end{cases}}$

• مجموعة الأعداد العقدية غير المنعدمة تُكتب $\mathbb {C} ^{*}$ ، أي: $\mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} -\{0\}$
• يُمكن صياغة الخاصية على الشكل الآتي: إذا كانت $a$ و $b$ و $x$ و $y$ أعدادا حقيقية، فإن $x+iy=a+ib\iff x=a{\text{ و }}y=b$ و يُستنتج من ذلك أن:
  • $y\neq b$ أو $x+iy\neq a+ib\iff x\neq a$
  • $y\neq 0$ أو $x+iy\neq 0\iff x\neq 0$