الأعداد العقدية/مرافق عدد عقدي

مرافق عدد عقدي

التعريف والتأويل الهندسي

تعريف

ليكن $z=x+iy$ عددا عقديا حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان.

العدد العقدي $x-iy$ يسمى مرافق العدد $z$ (بالفرنسية: Conjugué، بالإنجليزية: Complex conjugate) ، ونكتب: $\overline{z}=\overline{x+iy}=x-iy$

اختصارا: $\overline{z}=\mathrm{Re}(z)-i\mathrm{Im}(z)$

ملاحظة

مرافق $z$ هو $\overline{z}$ ومرافق $\overline{z}$ هو $z$ : نقول إن $z$ و $\overline{z}$ عددان عقديان مترافقان.

خاصية: التأويل الهندسي للمرافق

ليكن $z$ عددا عقديا.

النقطتان $M(z)$ و $M^{\prime }(\overline{z})$ (في المستوى العقدي) متماثلتان بالنسبة لمحور الأفاصيل (المحور الحقيقي).

📄 برهنة

ليكن $z=x+iy$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان. لحق $M$ هو $z$ يعني أن $M(x,y)$ و لحق $M^{\prime }$ يعني أن $M^{\prime }(x,-y)$.

وهكذا فإن $M$ و $M^{\prime }$ لهما نفس الأُفصول وأُرتوباهما متقابلان. إذن $M$ و $M^{\prime }$ متماثلان بالنسبة لمحور الأفاصيل.

خاصيات

خاصية

• لكل عدد عقدي $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، لدينا: $z\overline{z}=x^2+y^2$ . بتعبير آخر: $z\overline{z}=(\mathrm{Re}(z){)}^2+(\mathrm{Im}(z){)}^2$
• $\mathrm{\forall }z\in ℂ,z\overline{z}\in {ℝ}_{+}$

خاصية

لكل عدد عقدي $z$ ، لدينا:

• $z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)$
• $z-\overline{z}=2i\mathrm{Im}(z)$
• $z\in ℝ⟺\overline{z}=z$
• $z\in iℝ⟺\overline{z}=-z$

خاصية

لكل عددين عقديين $z$ و $t$ ، ولكل عدد حقيقي $\lambda$ ، لدينا:

• $\overline{z+t}=\overline{z}+\overline{t}$
• $\overline{zt}=\overline{z}\overline{t}$
• $\overline{\lambda z}=\lambda \overline{z}$
• إذا كان $t\ne 0$ ، فإن $\overline{\left(\frac{1}{t}\right)}=\frac{1}{\overline{t}}$
• إذا كان $t\ne 0$ ، فإن $\overline{\left(\frac{z}{t}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{t}}$
• إذا كان $z\ne 0$ ، فإنه لكل عدد صحيح نسبي $n$ : $\left(\overline{z^n}\right)=(\overline{z}{)}^n$