الأعداد العقدية/مرافق عدد عقدي

مرافق عدد عقدي

التعريف والتأويل الهندسي

تعريف

ليكن $z=x+iy$ عددا عقديا حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان.

العدد العقدي $x-iy$ يسمى مرافق العدد $z$ (بالفرنسية: Conjugué، بالإنجليزية: Complex conjugate) ، ونكتب: ${\bar {z}}={\overline {x+iy}}=x-iy$

اختصارا: ${\bar {z}}=\operatorname {Re} (z)-i\operatorname {Im} (z)$

ملاحظة

مرافق $z$ هو ${\bar {z}}$ ومرافق ${\bar {z}}$ هو $z$ : نقول إن $z$ و ${\bar {z}}$ عددان عقديان مترافقان.

خاصية: التأويل الهندسي للمرافق

ليكن $z$ عددا عقديا.

النقطتان $M(z)$ و $M'({\bar {z}})$ (في المستوى العقدي) متماثلتان بالنسبة لمحور الأفاصيل (المحور الحقيقي).

📄 برهنة

ليكن $z=x+iy$ حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان. لحق $M$ هو $z$ يعني أن $M(x,y)$ و لحق $M'$ يعني أن $M'(x,-y)$.

وهكذا فإن $M$ و $M'$ لهما نفس الأُفصول وأُرتوباهما متقابلان. إذن $M$ و $M'$ متماثلان بالنسبة لمحور الأفاصيل.

خاصيات

خاصية

• لكل عدد عقدي $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، لدينا: $z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}$ . بتعبير آخر: $z{\bar {z}}=(\operatorname {Re} (z))^{2}+(\operatorname {Im} (z))^{2}$
• $\forall z\in \mathbb {C} ,\;z{\bar {z}}\in \mathbb {R} _{+}$

خاصية

لكل عدد عقدي $z$ ، لدينا:

• $z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} (z)$
• $z-{\bar {z}}=2i\operatorname {Im} (z)$
• $z\in \mathbb {R} \iff {\bar {z}}=z$
• $z\in i\mathbb {R} \iff {\bar {z}}=-z$

خاصية

لكل عددين عقديين $z$ و $t$ ، ولكل عدد حقيقي $\lambda$ ، لدينا:

• ${\overline {z+t}}={\bar {z}}+{\bar {t}}$
• ${\overline {zt}}={\bar {z}}{\bar {t}}$
• ${\overline {\lambda z}}=\lambda {\bar {z}}$
• إذا كان $t\neq 0$ ، فإن ${\overline {\left({\frac {1}{t}}\right)}}={\frac {1}{\bar {t}}}$
• إذا كان $t\neq 0$ ، فإن ${\overline {\left({\frac {z}{t}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {t}}}$
• إذا كان $z\neq 0$ ، فإنه لكل عدد صحيح نسبي $n$ : $\left({\overline {z^{n}}}\right)=({\bar {z}})^{n}$