الأعداد العقدية/التمثيل الهندسي لعدد عقدي

التمثيل الهندسي لعدد عقدي

لِحْقُ نقطة، لحق متجهة

تعريف: صورة عدد عقدي، لحق نقطة

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$

ليكن $z=x+iy$ ، حيث $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ ، عددا عقديا.

النقطة الوحيدة $M$ التي زوج إحداثياتها هو $(x,y)$ في $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$ تسمى صورة $z$ (بالفرنسية: Image، بالإنجليزية: Image) ، ونكتب $M(z)$

لتكن $M$ نقطة زوج إحداثياتها في $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$ هو $(x,y)$ .

العدد العقدي $z=x+iy$ يُسمى لِحْق $M$ (بالفرنسية: Affixe، بالإنجليزية: Affix). نرمز له بالرمز $\operatorname {Aff} (M)$ (وأحيانا بالرمز $z_{M}$ ).

تعريف: لحق متجهة

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$

نعتبر عددا عقديا $z=x+iy$ ، حيث $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

المتجهة ${\vec {u}}(x,y)$ في الأساس $({\vec {I}},{\vec {J}})$ تسمى الصورة المتجهية للعدد $z$ ونرمز لها بالرمز ${\vec {u}}(z)$

كما أن العدد العقدي $z$ يسمى لحق المتجهة ${\vec {u}}$

ونكتب $z=\operatorname {Aff} ({\vec {u}})$ (وأحيانا $z=z_{\vec {u}}$ ).

ملاحظات

ليكن $z$ عددا عقديا، لدينا: $z=\operatorname {Aff} (M)\iff z=\operatorname {Aff} \left({\overrightarrow {OM}}\right)$

بتعبير آخر، إذا كان $z$ هو لحق النقطة $M$ ، فإن $z$ هو كذلك لحق المتجهة ${\overrightarrow {OM}}$ ، كما أنه إذا كان $z$ هو لحق المتجهة ${\vec {u}}$ ، فإن $z$ هو لحق النقطة $M$ بحيث ${\overrightarrow {OM}}={\vec {u}}$

هناك تقابل بين $\mathbb {C}$ ومجموعة المتجهات: ${\vec {u}}={\vec {v}}\iff \operatorname {Aff} ({\vec {u}})=\operatorname {Aff} ({\vec {v}})$

التأويل الهندسي للمجموع والفرق والضرب في عدد حقيقي

المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$

خاصية: تأويل مجموع عددين عقديين

إذا كانت ${\vec {v_{1}}}$ و ${\vec {v_{2}}}$ متجهتين لِحْقاهما على التوالي $z_{1}$ و $z_{2}$ ، فإن لحق ${\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{2}}}$ هو $z_{1}+z_{2}$

بتعبير آخر: $\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{2}}}\right)=\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{1}}}\right)+\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{2}}}\right)$

إذا كانت $M_{1}$ و $M_{2}$ صورتي عددين عقديين $z_{1}$ و $z_{2}$ على التوالي، فإن صورة العدد $z_{1}+z_{2}$ هي النقطة $S$ بحيث: ${\overrightarrow {OS}}={\overrightarrow {OM_{1}}}+{\overrightarrow {OM_{2}}}$

(أي بحيث يكون $OM_{1}SM_{2}$ متوازي الأضلاع)

خاصية: تأويل فارق عددين عقديين

إذا كانت $M_{1}$ و $M_{2}$ النقطتين اللتين لحقاهما على التوالي $z_{1}$ و $z_{2}$ ، فإن لحق ${\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$ هو $z_{2}-z_{1}$

بتعبير آخر: $\operatorname {Aff} ({\overrightarrow {M_{1}M_{2}}})=\operatorname {Aff} (M_{2})-\operatorname {Aff} (M_{1})$

خاصية: تأويل ضرب عدد عقدي في عدد حقيقي

إذا كانت ${\vec {u}}$ متجهة لحقها $z$ وكان $\lambda$ عددا حقيقيا، فإن لحق $\lambda {\vec {u}}$ هو $\lambda z$ . بتعبير آخر: $\operatorname {Aff} \left(\lambda {\vec {u}}\right)=\lambda \operatorname {Aff} \left({\vec {u}}\right)$
إذا كانت $M$ هي النقطة ذات اللحق $z$ ، فإن صورة العدد العقدي $\lambda z$ هي النقطة $P$ بحيث ${\overrightarrow {OP}}=\lambda {\overrightarrow {OM}}$

ملاحظة:

باستعمال الخاصيات السابقة، يمكن إثبات الخاصية الآتية:

لكل متجهتين ${\vec {u}}_{1}$ و ${\vec {u}}_{2}$ ولكل عددين حقيقيين $\lambda _{1}$ و $\lambda _{2}$ ، لدينا: $\operatorname {Aff} \left(\lambda _{1}{\vec {v_{1}}}+\lambda _{2}{\vec {v_{2}}}\right)=\lambda _{1}\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{1}}}\right)+\lambda _{2}\operatorname {Aff} \left({\vec {v_{2}}}\right)$