الاتصال/اتصال مركب دالتين

اتصال مركب دالتين

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال $I$ ، و $g$ دالة معرفة على مجال $J$ بحيث $f(I)\subset J$، وليكن $a$ عنصرا من $I$

إذا كانت $f$ متصلة في $a$ و $g$ متصلة في $f(a)$ فإن الدالة $g\circ f$ متصلة في $a$

ومنه إذا كانت $f$ متصلة على $I$ و $g$ متصلة على $J$ فإن الدالة $g\circ f$ متصلة على $I$

لازمة

إذا كانت $f$ دالة متصلة وموجبة على مجال $I$، فإن الدالة $\sqrt{f}$ متصلة على $I$

مركب دالة متصلة ودالة تقبل نهاية

خاصية

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح منقط $I$ مركزه $a$، و $g$ دالة معرفة على مجال مفتوح $J$ مركزه $\ell$ بحيث $f(I)\subset J$

إذا كان $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\ell$ و $g$ متصلة في العدد $\ell$ فإن : $\underset{x\to a}{lim}(g\circ f)(x)=g(\ell )$

📄 برهنة

لتكن $f$ دالة معرفة على مجال مفتوح منقط $I$ مركزه $a$ وتقبل نهاية منتهية $\ell$ في $a$ ، ولتكن $g$ دالة معرفة على مجال مفتوح $J$ مركزه $\ell$ بحيث $f(I)\subset J$ و $g$ متصلة في $\ell$

برهنة الخاصية تتم على مرحلتين :

1. نعتبر $h$ التمديد بالاتصال للدالة $f$ في $a$ ، ونُبين أن الدالة $g\circ h$ متصلة في العدد $a$
2. نستنتج أن : $\underset{x\to a}{lim}(g\circ f)(x)=g(\ell )$

ملاحظة: باعتبار مجال مناسب $I$،

• إذا كان $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\ell$ و $g$ متصلة في $I$ فإن $\underset{x\to a}{lim}(g\circ f)(x)=g(\ell )$
• إذا كان $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\ell$ و $g$ متصلة في $I$ فإن $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(g\circ f)(x)=g(\ell )$
• وبالمثل بالنسبة للنهاية على اليسار في $a$ والنهاية عند $-\mathrm{\infty }$.