المعادلات التفاضلية

معادلة تفاضلية
صنف فرعي من	معادلة رياضية، مشكلة حسابية و مسألة رياضية
التصنيف الرئيس للموضوع	تصنيف:معادلات تفاضلية
في قائمة تركيز مشروع ويكيميديا	ويكيبيديا:قائمة مقالات يجب أن تحتويها كل ويكيبيديا و Wikipedia:Vital articles/Level/4
جزء من	تفاضل و system of differential equations
القالب الرئيس للموضوع	قالب:معادلات تفاضلية و Template:Differential equations topics
مختلف عن	علاقة استدعاء ذاتي و نظرية المعادلات التفاضلية
يدرسه	نظرية المعادلات التفاضلية
جانب من جوانب	مسألة رياضية
ممثلة بـ	مرتبة معادلة تفاضلية
الصيانة بواسطة مشروع الويكي	مشروع ويكي رياضيات
تصنيف كومنز	Differential equations
مَوصُوف في المصدر	طريقة التدفقات، قاموس بروكهاوس وإفرون الموسوعي، الموسوعة البريطانية نسخة سنة 1911 و الموسوعة السوفيتية الكبرى
اتحاد من	القيم كتصفيات و القيم كتصفيات

عموميات

• ليكن $a$ عددا حقيقيا غير منعدم.

نريد أن نحدد جميع الدوال $f$ القابلة للاشتقاق على $\mathbb {R}$ والتي تحقق لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $f'(x)=af(x)$ ✪

وإذا رمزنا للمجهول $f(x)$ بالرمز $y$ وللمشتقة $f'(x)$ بالرمز $y'$ فإن العلاقة ✪ تُكتب : $y'=ay$

المتساوية $y'=ay$ تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى.

كل دالة تحقق العلاقة ✪ تسمى حلا لهذه المعادلة التفاضلية. وحل المعادلة التفاضلية $y'=ay$ يعني تحديد جميع هذه الحلول.

• ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين.

المتساوية $y''+ay'+by=0$ تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية و المعادلة $r^{2}+ar+b=0$ تسمى معادلتها المميزة.

حل المعادلة التفاضلية $y''+ay'+by=0$ يعني تحديد جميع الدوال $f$ القابلة للاشتقاق مرتين على $\mathbb {R}$ والتي تحقق لكل $x$ من $\mathbb {R}$ : $f''(x)+af'(x)+bf(x)=0$

المعادلة التفاضلية $y'=ay$

خاصية

ليكن $a$ عددا حقيقيا.

حلول المعادلة التفاضلية $y'=ay$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto ke^{ax}$

حيث $k$ عدد حقيقي ثابت.

ملاحظة : لكل $x_{0}$ و $y_{0}$ من $\mathbb {R}$ ، يوجد حل وحيد $f$ للمعادلة التفاضلية $y'=ay$ والذي يحقق $f(x_{0})=y_{0}$

المعادلة التفاضلية $y'=ay+b$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين غير منعدمين.

حلول المعادلة التفاضلية $y'=ay+b$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto ke^{ax}-{\frac {b}{a}}$

حيث $k$ عدد حقيقي ثابت.

المعادلة التفاضلية $y''+ay'+by=0$

خاصية

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين. نعتبر المعادلة التفاضلية $(E):\;y''+ay'+by=0$ ، ولتكن $(E'):\;r^{2}+ar+b=0$ معادلتها المميزة.

• إذا كان للمعادلة $(E')$ حلان حقيقيان $r_{1}$ و $r_{2}$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto \alpha e^{r_{1}x}+\beta e^{r_{2}x}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

• إذا كان للمعادلة $(E')$ حل حقيقي وحيد $r_{0}$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto (\alpha x+\beta )e^{r_{0}x}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

• إذا كان للمعادلة $(E')$ حلان عُقَدِيان مترافقان أحدهما $p+iq$ فإن حلول المعادلة التفاضلية $(E)$ هي الدوال المعرفة على $\mathbb {R}$ بما يلي :

$x\mapsto (\alpha \cos(qx)+\beta \sin(qx))e^{px}$ ، حيث $\alpha$ و $\beta$ عددان حقيقيان ثابتان.

ملاحظة : في الحالة الثالثة يمكن كتابة الحلول على الشكل $x\mapsto Ae^{px}\cos(qx+B)$ حيث $A$ و $B$ عددان حقيقيان ثابتان.

انظر أيضا

• الاتصال
• الاشتقاق
• نهاية متتالية
• دراسة الدوال العددية
• الدوال الأصلية
• الدوال اللوغاريتمية
• الدوال الأسية
• التكامل
• المعادلات التفاضلية