حساب الاحتمالات/احتمال حدث

احتمال حدث

احتمال معرف على $\Omega$ - احتمال حدث

تعريف

ليكن $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\dots ,\omega _{n}\}$ كون إمكانيات تجربة عشوائية.

• إذا ربطنا كل إمكانية $\omega _{i}$ من $\Omega$ بعدد $P_{i}$ بحيث: $0\leq P_{i}\leq 1$ و $P_{1}+P_{2}+\dots +P_{n}=1$ ، فإننا نكون قد عرَّفنا احتمالا $P$ على $\Omega$. الزوج $(\Omega ,P)$ يُسمى فضاءا احتماليا منتهيا.
• نقول إن احتمال الحدث الابتدائي $\{\omega _{i}\}$ هو $P_{i}$ ونكتب $P(\{\omega _{i}\})=P_{i}$
• احتمال كل حدث $A$ ضمن $\Omega$ هو مجموع احتمالات الأحداث الابتدائية التي توجد ضمن $A$ ونرمز لهذا الاحتمال بالرمز $P(A)$ .

ملاحظات

• $P(\Omega )=1$
• $P(\emptyset )=0$

أمثلة

• عند رمي نرد متوازن مرة واحدة فإن $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

بما أن جميع وجوه النرد لها نفس حظ الظهور فإنه يمكن تعريف الاحتمال $P$ على $\Omega$ كالتالي:

$P(\{1\})=P(\{2\})=\dots =P(\{6\})={\frac {1}{6}}$

ولدينا احتمالات الوجوه محصورة بين $0$ و $1$ ومجموعها يساوي $1$.

• ليكن الحدث $A$ "الحصول على رقم زوجي".

لدينا $A=\{2,4,6\}$ و احتمال $A$ هو:

${\begin{aligned}P(A)&=P(\{2\})+P(\{4\})+P(\{6\})\\&={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

احتمال تقاطع حدثين، اتحاد حدثين، حدث مضاد لحدث

خاصية

ليكن $\Omega$ كون إمكانيات تجربة عشوائية و $P$ احتمالا مُعَرَّفاً على $\Omega$.

1. لكل حدثين غير منسجمين $A$ و $B$ ضمن $\Omega$ (أي $A\cap B=\emptyset$) لدينا: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
2. لكل حدثين $A$ و $B$ ضمن $\Omega$ لدينا: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
3. لكل حدث $A$ ضمن $\Omega$ لدينا: $P({\bar {A}})=1-P(A)$

ملاحظات

• $A$ و $B\setminus A$ غير منسجمين.
• $B\cap A$ و $B\setminus A$ غير منسجمين.