حساب الاحتمالات/استقلال حدثين - استقلال اختبارات

استقلال حدثين - استقلال اختبارات

استقلال حدثين

ليكن $A$ و $B$ حدثين ضمن كون إمكانيات تجربة عشوائية بحيث $P(A)\neq 0$.

إذا كان تحقيق الحدث $B$ غير مرتبط بتحقيق الحدث $A$ أو بعدم تحقيقه، أي أنه إذا كان الحدث $A$ لا يُؤَثِّر على تحقيق $B$ فإننا نقول إن $A$ و $B$ مستقلان.

استقلالية $A$ و $B$ تعني إذن أن احتمال تحقيق $B$ علما أن $A$ محقق هو احتمال $B$، أي $P_{A}(B)=P(B)$.

وبما أن $P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$ فإن $P(A\cap B)=P(A).P(B)$

تعريف

نقول إن $A$ و $B$ حدثان مستقلان (بالفرنسية: Événement indépendants، بالإنجليزية: Independent events) إذا كان : $P(A\cap B)=P(A).P(B)$

استقلال اختبارات - تكرار اختبار

• عند رمي قطعة نقدية $n$ مرة، تكون الرميات لا تؤثر في بعضها البعض من حيث الحصول على النتائج. نقول إن هذه التجربة مُكَوَّنة من $n$ اختبارت مستقلة (كل رمية هي اختيار).
• عند رمي نرد $n$ مرة، تكون نتيجة كل رمية لا تُؤثر في الرميات الأخرى. نقول أيضا إن هذه التجربة مكونة من $n$ اختبارات مستقلة.
• عند سحب $n$ كرة بالتتابع وبإحلال من صندوق يحتوى على عدد من الكرات، تكون نتيجة كل سحبة لا تُؤثر في نتيجة السحبات الأخرى. نقول إن هذه التجربة مكونة من $n$ اختبارات مستقلة (كل سحبة هي اختيار).

خاصية

ليكن $A$ حدثا احتماله $p$ في اختبار عشوائي.

إذا أُعيد هذا الاختبار $n$ مرة، فإن احتمال وقوع $A$ بالضبط $k$ مرة هو $C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ حيث $k\in \{0,1,\dots ,n\}$ (تكرار الاختبار $n$ مرة في ظروف مستقلة).