حساب الاحتمالات/المتغيرات العشوائية

المتغيرات العشوائية

تمهيد

تعريف

ليكن $\mathrm{\Omega }$ كون إمكانيات تجربة عشوائية.

كل تطبيق $X$ يربط كل عنصر من $\mathrm{\Omega }$ بعنصر وحيد من $ℝ$ يسمى متغيرا عشوائيا (بالفرنسية: Variable aléatoire، بالإنجليزية: Random variable).

ترميز:

• $X(\mathrm{\Omega })$ هي مجموعة صور عناصر $\mathrm{\Omega }$، ونكتب عادة $X(\mathrm{\Omega })=\{x_1,\dots ,x_n\}$ حيث $x_1$ و ... و $x_n$ هي القيم التي يأخذها $X$.
• $\{X=x_i\}$ هو الحدث "$X$ تأخذ القيمة $x_i$".

قانون احتمال متغير عشوائي

تعريف

ليكن $\mathrm{\Omega }$ كون إمكانيات تجربة عشوائية و$X$ متغيرا عشوائيا معرفا على $\mathrm{\Omega }$ و $X(\mathrm{\Omega })=\{x_1,\dots ,x_n\}$ مجموعة قيم $X$. وليكن $P$ احتمالا معرفا على $\mathrm{\Omega }$.

الدالة العددية $f$ التي تربط كل عنصر $x_i$ من $X(\mathrm{\Omega })$ باحتمال الحدث $\{X=x_i\}$ تُسمى قانون احتمال $X$ أو توزيع احتمال $X$ (بالفرنسية: Loi de probabilité، بالإنجليزية: Probability distribution).

بتعبير آخر: $\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\},f(x_i)=P(X=x_i)$

وسيطات متغير عشوائي: الأمل الرياضي، المغايرة، الانحراف الطِّرازي

تعريف

ليكن $X$ متغيرا عشوائيا مُعَرَّفا على كون الإمكانيات $\mathrm{\Omega }$ لتجربة عشوائية، و $X(\mathrm{\Omega })=\{x_1,\dots ,x_n\}$ مجموعة قيم $X$، و $p$ احتمالا معرفا على $\mathrm{\Omega }$، و $P(X=x_i)=p_i$.

• الأمل الرياضي (بالفرنسية: Espérance mathématique، بالإنجليزية: Expected value) للمتغير العشوائي $X$ هو العدد الحقيقي $𝔼(X)$ بحيث:

$𝔼(X)=\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i$

• مغايرة (بالفرنسية: Variance، بالإنجليزية: Variance) المتغير العشوائي $X$ هو العدد الحقيقي الموجب $𝕍(X)$ بحيث:

$𝕍(X)=\sum _{i=1}^n{p}_i(x_i-𝔼(X){)}^2$

• العدد $\sigma (X)=\sqrt{𝕍(X)}$ يُسمى الانحراف الطرازي (بالفرنسية: Écart type، بالإنجليزية: Standard deviation) للمتغير $X$.

ملاحظات:

• نكتب أيضا $𝔼(X)=\bar{X}$
• $𝕍(X)$ يُفيد في دراسة تشتت (تقارب أو تباعد) قيم المتغير $X$ حول القيمة المتوسطة $𝔼(X)$

خاصية

$\begin{array}{cc}𝕍& =𝔼(X^2)-[𝔼(X){]}^2\\ & =\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i^2-[𝔼(X){]}^2\end{array}$

دالة التجزيئ

تعريف

ليكن $X$ متغيرا عشوائيا مُعرفا على فضاء احتمالي مُنْتَهٍ $(\mathrm{\Omega },P)$.

الدالة العددية $F$ المعرفة على $ℝ$ بـ: $\mathrm{\forall }x\in ℝ,F(x)=P(X<x)$

تسمى دالة التجزيئ للمتغير العشوائي $X$ (بالفرنسية: Fonction de répartition، بالإنجليزية: Cumulative distribution function).