الأعداد العقدية/معيار عدد عقدي

معيار عدد عقدي

التعريف والتأويل الهندسي

سبق أن بينا أنه لكل عدد عقدي $z$ ، لدينا $z{\bar {z}}\in \mathbb {R} _{+}$ وأن $z{\bar {z}}=(\operatorname {Re} (z))^{2}+(\operatorname {Im} (z))^{2}$

تعريف

ليكن $z=x+iy$ ، حيث $x$ و $y$ عددان حقيقيان، عددا عقديا.

معيار العدد العقدي $z$ (بالفرنسية: Module، بالإنجليزية: Modulus) هو العدد الحقيقي الموجب الذي نرمز له بـ $|z|$ والمُعَرَّف بما يلي: $|z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

مثال: $|3+5i|={\sqrt {3^{2}+5^{2}}}={\sqrt {34}}$

في كل ما يلي المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر $(O,{\vec {I}},{\vec {J}})$.

خاصية

ليكن $z$ عددا عقديا صورته $M$ وصورته المتجهية ${\vec {u}}$

لدينا : $|z|=OM$ و $|z|=\|{\vec {u}}\|$

خاصية: المسافة بين نقطتين

إذا كانت $M_{1}$ و $M_{2}$ النقطتين اللتين لحقاهما على التوالي $z_{1}$ و $z_{2}$ ، فإن : $M_{1}M_{2}=\|{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\|=|z_{2}-z_{1}|$

خاصيات

خاصية

لكل عددين عقديين $z$ و $t$ لدينا:

• $|\operatorname {Re} (z)|\leq |z|$ و $|\operatorname {Im} (z)|\leq |z|$
• $|z|=0\iff z=0$
• $|z\times t|=|z|\times |t|$
• $|z|=|{\bar {z}}|=|-z|=|-{\bar {z}}|$
• إذا كان $t\neq 0$ فإن: $\left|{\frac {1}{t}}\right|={\frac {1}{|t|}}$ و $\left|{\frac {z}{t}}\right|={\frac {|z|}{|t|}}$
• إذا كان $z\neq 0$ فإنه لكل عدد صحيح نسبي $n$ : $|z^{n}|=|z|^{n}$

خاصية: المتفاوتة المثلثية

لكل عددين عقديين $z$ و $t$ لدينا: $|z+t|\leq |z|+|t|$