حساب الاحتمالات/المتغيرات العشوائية

المتغيرات العشوائية

تمهيد

تعريف

ليكن $\Omega$ كون إمكانيات تجربة عشوائية.

كل تطبيق $X$ يربط كل عنصر من $\Omega$ بعنصر وحيد من $\mathbb {R}$ يسمى متغيرا عشوائيا (بالفرنسية: Variable aléatoire، بالإنجليزية: Random variable).

ترميز:

$X(\Omega )$ هي مجموعة صور عناصر $\Omega$ ، ونكتب عادة $X(\Omega )=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ حيث $x_{1}$ و ... و $x_{n}$ هي القيم التي يأخذها $X$ .
$\{X=x_{i}\}$ هو الحدث " $X$ تأخذ القيمة $x_{i}$ ".

قانون احتمال متغير عشوائي

تعريف

ليكن $\Omega$ كون إمكانيات تجربة عشوائية و $X$ متغيرا عشوائيا معرفا على $\Omega$ و $X(\Omega )=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ مجموعة قيم $X$ . وليكن $P$ احتمالا معرفا على $\Omega$ .

الدالة العددية $f$ التي تربط كل عنصر $x_{i}$ من $X(\Omega )$ باحتمال الحدث $\{X=x_{i}\}$ تُسمى قانون احتمال $X$ أو توزيع احتمال $X$ (بالفرنسية: Loi de probabilité، بالإنجليزية: Probability distribution).

بتعبير آخر: $\forall i\in \{1,\dots ,n\},\;f(x_{i})=P(X=x_{i})$

وسيطات متغير عشوائي: الأمل الرياضي، المغايرة، الانحراف الطِّرازي

تعريف

ليكن $X$ متغيرا عشوائيا مُعَرَّفا على كون الإمكانيات $\Omega$ لتجربة عشوائية، و $X(\Omega )=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ مجموعة قيم $X$ ، و $p$ احتمالا معرفا على $\Omega$ ، و $P(X=x_{i})=p_{i}$ .

الأمل الرياضي (بالفرنسية: Espérance mathématique، بالإنجليزية: Expected value) للمتغير العشوائي $X$ هو العدد الحقيقي $\mathbb {E} (X)$ بحيث:

$\mathbb {E} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$

مغايرة (بالفرنسية: Variance، بالإنجليزية: Variance) المتغير العشوائي $X$ هو العدد الحقيقي الموجب $\mathbb {V} (X)$ بحيث:

$\mathbb {V} (X)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-\mathbb {E} (X))^{2}$

العدد $\sigma (X)={\sqrt {\mathbb {V} (X)}}$ يُسمى الانحراف الطرازي (بالفرنسية: Écart type، بالإنجليزية: Standard deviation) للمتغير $X$ .

ملاحظات:

نكتب أيضا $\mathbb {E} (X)={\overline {X}}$
$\mathbb {V} (X)$ يُفيد في دراسة تشتت (تقارب أو تباعد) قيم المتغير $X$ حول القيمة المتوسطة $\mathbb {E} (X)$